Напрями побудови лінійної моделі множинної регресії

Для побудови лінійної моделі множинної регресії використовують статистичну інформацію про діяльність підприємства і здійснюють такі етапи: математико-статистичний аналіз, побудова багатофакторної регресійної моделі, перевірка побудованої моделі на адекватність, аналіз (інтерпретація) отриманих результатів.

На етапі математико-статистичного аналізу проводять перевірку основних припущень класичного регресійного аналізу, крім того, здійснюють найважливішу процедуру багатофакторного аналізу – перевірку факторів на мультиколінеарність.

Для здійснення математико-статистичного аналізу будують матрицю коефіцієнтів парної кореляції, який показує ступінь зв’язку між факторами економетричної моделі. Потім аналізують коефіцієнти парної кореляції між факторами. Результатом етапу математико-статистичного аналізу є знаходження множини основних незалежних між собою факторів, що є базою для побудови регресійної моделі.

На другому етапі для побудови багатофакторної моделі вибирають фактори, що будуть відображати причинно-наслідковий зв’язок. У цьому аспекті широке використання отримали «покроковий» метод і метод «виключень».

Найбільш доцільно відшукувати рівняння множинної регресії шляхом послідовного підключення до парного рівняння решти аргументів у порядку їх значущості («покроковий метод»). У цьому випадку виявляється можливість на кожному етапі аналізувати:

- обумовленість вирішуваної системи за чисельним значенням її визначника (детермінатора);

- зміну β- коефіцієнтів, чисельне значення яких має бути менше 1, а знак не суперечити логіці;

- зростання коефіцієнта множинної кореляції R і убування залишкової дисперсії .

Методика послідовного підключення аргументів складається з наступних операцій:

1.Обирають аргумент х₁, якому відповідає найбільший за абсолютним значенням "зовнішній коефіцієнт" кореляції

| r _y1| = max | r _yi|, j = 1,2….q. (10.3)

За аргументом х₁ записують рівняння

t_y1 = t_y1 t_x1. (10.4)

2. Приєднюють аргумент х_io, для якого

| r _xj X₁ | = min | r _{xj x1} |, j = 2,3,… q. (10.5)

Складають систему нормальних рівнянь

r _yх1 = β₁ + r _хjo β₂; (10.6)

r _{y xjo} = β₁ r _{хjo x1} + β₂ (10.7)

і обчислюють значення β₁ и β₂. Визначають

R²_{y, x1 хjo} = β₁ r_yx1 + β₂ r _{y xjo}; (10.8)

σ_у, _{х1 xjo} = (10.9)

Порівнюється R²_{y, x1 хjo}, σ_у, _{х1 xjo} відповідно з r ²_yx1, σ_{у х1}.

Переконують в справедливості нерівності

R²_{y, x1 хjo} ≥ r ²_yx1 ; σ_у, _xjo ≤ σ_{у х1}. (10.10)

У противному разі замінюють чинний аргумент іншим х_{j1 ,} а аргумент X_j0 переносять на останнє місце.

3. Далі приєднують наступний аргумент X_j1 і розв'язують систему з трьома невідомими:

r _{y х1} = β₁ + β₂ r_{х1 xjo} + β₃ r_{х1 xj1}; (10.11)

r _{y xjo} = β₁ r_{х1 xjo} + β₂ + β₃ r _{xjo xj1}; (10.12)

r _{y xj1} = β₁ r_{х1 xjo} + β₂ r _{xjo xj1} + β₃. (10.13)

Обчислюють значення β_{1 ,} β₂ та β₃. Визначають

R²_{y, x1 хjo xj1} = β₁ r _{y х1} + β₂ r _{y xjo} + β₃ r _{y xj1}; (10.14)

σ_у, _{xjo xj1} = σу . (10.15)

і порівнюють з R²_{y, x1 хjo} і σ_у, _{x1 хjo}. Переконуються в справедливості нерівності

R²_{y, x1 хjo xj1} ≥ R²_{y, x1 хjo}; (10.16)

σ_у, _{x1 хjo xj1} ≤ σ_у, _{x1 хjo}. (10.17)

У противному разі діють аналогічно пункту 2.

Дослідження ведуть до тих пір, поки не будуть апробовані чинники-аргументи і збережені тільки ті з них, для яких β_j –коефіцієнти суттєві й лінійно незалежні. У результаті виходить множинне рівняння в стандартизованому масштабі.

Від рівняння множинної регресії у стандартизованому масштабі

t _xi = β₁ t₁ + β₂ t₂ + ….+ β_p t_n (10.18)

до рівняння множинної регресії в натуральному масштабі

_{х1, х2…Хр} = а₁х₁ + а₂х₂ + ….+ а_рх_р +b. (10.19)

Перехід здійснюють подвійно.

1.Шляхом використання формул

(10.20)

При цьому маємо

(10.21)

Підставивши відомі значення , σ_xi, σ_у, β_i і _I, отримуємо рівняння множинної регресії в натуральному масштабі, в якому чисельне значення вільного члена додатково визначати не потрібно.

2. Невідомі коефіцієнти а_i в рівнянні множинної регресії в натуральному масштабі визначають з виразу

. (10.22)

Чисельне значення вільного члена

b = -(а_{1 1}+ а_{2 2} + …+ а_{р р}). (10.23)

Метод «виключень» полягає в тому, що вибирають набор факторів, які ймовірно можуть впливати на результативний показник. Потім по черзі виключають ті фактори, в яких найменший коефіцієнт кореляції (згідно з матрицею статистики), а значення часткових F-критеріїв не перевищуюють нормативні значення. Таким чином, залишаться тільки ті змінні, які відповідають розглянутим вище умовам.

Слід сказати, що на цьому етапі розраховують коефіцієнт множинної кореляції, який показує загальний вплив незалежних факторів на результуючий показник економетричної моделі. Він знаходиться у проміжку між 0 і 1. Чим більше вплив факторів, тим більше коефіцієнт множинної кореляції наближається до 1. Він не може перевищувати значення останньої.

Розрахунок коефіцієнта множинної кореляції () виконують за формулою Боярського [18]:

, (10.24)

де – порядок повної матриці коефіцієнтів кореляції;

– визначник повної матриці коефіцієнтів кореляції із заміною нижнього правого елемента нулем;

- визначник матриці, в якій враховані коефіцієнти парної кореляції незалежних факторів.

Якщо розкрити визначники для двофакторної економетричної моделі, то коефіцієнт множинної кореляції може бути визначений як

, (10.25)

де , - коефіцієнти парної кореляції між залежною змінною у і незалежними факторами х₁, х₂;

- коефіцієнт парної кореляції між незалежними змінним х₁, х_{2 .}

З метою контролю правильності розрахунків цей коефіцієнт визначають також за формулою [18]:

. (10.26)

де - -коефіцієнти для незалежних факторів економетричної моделі. Цей коефіцієнт може бути розрахований наступним чином [18]:

, (10.27)

де – визначник (детермінант) матриці взаємної кореляції (мультиколінеарності) із заміною в ній і-го стовпця стовпцем коефіцієнтів кореляції . Наприклад, -коефіцієнти для одного з факторів двофакторної моделі разраховують наступним чином:

. (10.28)

Знайдені в результаті вирішення кореляційної матриці β -коефіцієнти показують, на яку частину середньоквадратичного відхилення σ_у змінюється середнє значення функції, якщо відповідний аргумент зменшується або збільшується, а інші аргументи залишаються незмінними.

Для з'ясування математико-статистичного змісту множинної кореляції всю досліджувану групу змінних слід розглядати як один чинник-аргумент. При цьому розраховують коефіцієнт надійності

М = . (10.29)

Стандартну помилку (середню квадратичну похибку) коефіцієнта множинної кореляції визначають за формулою

σ_R = (1-R)/ , (10.30)

де n - обсяг вибірки.

Сукупний вплив врахованих змінних на функцію визначається коефіцієнтом загальної детермінації R², а окремих чинників-аргументів за чисельними значеннями приватної детермінації r_iβ_i:

R² = r₁β₁ + r₂β₂+…..+ r_pβ_p. (10.31)

Стандартну (систематичну) похибку ² обчислюють за формулою

² = 1-(1- R²) , (10.32)

де Р - число параметрів рівняння регресії. З рівняння множинної регресії можна отримати рівняння чистої (приватної) регресії по кожному з аргументу х_i. Для цього фіксують значення всіх аргументів, окрім х_i, на середньому рівні.

Отримане рівняння описує, як в середньому змінюється із зміною х_i, якщо всі інші аргументи постійні й закріплені саме на своїх середніх рівнях.

Приклад. Розрахуйте коефіцієнт множинної кореляції і визначіть -коефіцієнти, на основі даних, наевдених в табл. 10.1.

Таблиця 10.1 - Матриця статистики економічних показників

Показники	Коефіцієнти парної кореляції
Р (у) (рентабельність продукції)	ФЗоз (х1) (фондоозброєність основних засобів)	Ч (х2) (середньоспискова чисельність працівників)
Р (у) (рентабельність продукції)		0,87	0,65
ФЗоз (х1) (фондоозброєність основних засобів)	0,87		0,36
Ч (х2) (середньоспискова чисельність працівників)	0,65	0,36

Вирішення

1. Визначимо -коефіцієнти для факторів х₁ і х₂ (формула (10.28):

= 0,731,

= 0,387.

2. Розрахуємо коефіцієнт множинної кореляції (формула (10.26):

0,945.

На наступному етапі аналізу перевіряють адекватність моделі за допомогою використання F-критерію Фішера і t-критерію Ст’юдента. При перевірці на адекватність економетричної моделі також використовують тест Дарбіна-Уотсона, який спрямований на перевірку кореляції між залишками.

На останньому етапі отриману модель аналізують і інтерпретують.