Определение вида закона распределения случайной величины

Вернемся к исходной таблице рассматриваемого примера, добавив еще одну строку в которой проставим частость одинаковых ответов

Размер,
Количество,
Частость,	0,05	0,15	0,2	0,25	0,2	0,1	0,05	1,00

Представим имеющиеся данные в виде графика. Как видно из графика: - численные значения изменяются не беспредельно; - чем больше отклонение от среднего значения, тем меньше частость ее появления и наоборот. Следовательно, имеют место элементы, присущие нормальному закону.

Выдвигаем гипотезу (Высказываем предположение): случайные величины распределены по нормальному закону. Но нормальный закон характерен для генеральной совокупности, а у нас выборка ограниченного объема. Насколько приемлема наша гипотеза?

Вполне очевидно, что при нормальном законе распределения частости будут иные. Если они отличаются от опытных данных несущественно, то можно согласиться с выдвинутой гипотезой, если отличия существенные, то придется опровергнуть гипотезу. Но что значит «несущественно»? Видимо придется установить какой-либо критерий. Существуют различные способы установления критерия, который принято называть «Критерий согласия». К числу наиболее распространенных способов относятся: критерий согласия Пирсона (хи – квадрат); Романовского; Колмагорова и Ястремского.

Сущность всех способов одинакова и сводится к определению опытного значения критерия согласия и сравнению его с некоторым теоретическим значением. Если опытное значение критерия согласия превосходит теоретическое его значение, то гипотеза отвергается, если не превосходит, то принимается. Наиболее распространенным является критерий согласия Пирсона (хи – квадрат). Рассмотрим порядок проведения расчетов при использовании этого способа.

Формулируем основную гипотезу: опытное распределение соответствуют теоретическому распределению, что записывается в виде . Тогда конкурирующая гипотеза .

Опытное значение критерия согласия рассчитывают по формуле ,

где	n	– общее число опытов;
		– число значений, оказавшихся в i –м интервале по результатам опыта;
		– теоретическая частость попадания в i –ый интервал;
		– число значений в i –м интервале, которое соответствует теоретическому распределению.

По физическому смыслу критерий согласия Пирсона - это мера отклонений опытных данных от теоретических.

Для того чтобы найти теоретическую частость попадания в i –ый интервал, необходимо сначала вычислить отклонения от среднего значения и это отклонение выразить в среднем квадратическом отклонении для генеральной совокупности, т.е. . Например, .

Результаты аналогичных расчетов сведем в таблицу

Размер,
	-1,86	-1,22	-0,58	0,06	0,71	1,35	1,99

Затем, используя таблицу функции распределения нормального закона найти соответствующие значения . Например, первому столбцу должно соответствовать значение

f (39)= F (-1,86)– F (-1,22),

второму столбцу f (40)= F (-0,58)- F (-1,22) и т.д.

Примечание. При отсутствии таблицы можно воспользоваться компьютером. Для этого в Excel в какой-либо столбец ввести значения .Выделить ячейку рядом с первым числом, вызвать Статистические функции, НОРМСТРАСП и в появившемся подменю указать первое число х = –1,86. Ок. В ячейке появится 0,031, соответствующее

F (-1,86). Аналогично для F (-1,22)= 0,111.

Вычитая, имеем

f (39)= F (-1,26)– F (-1,52)= 0,111-0,031=0,080.

Аналогичные и последующие расчеты заносим в таблицу

Размер,
	-1,86	-1,22	-0,58	0,06	0,71	1,35	1,99
	0,031	0,111	0,281	0,524	0,761	0,911	0,977
	0.080	0.170	0.243	0.237	0.150	0.065	0.019
	0,222	0,046	0,152	0,014	0,328	0,371	1,008

Суммируя последнюю строку, получим

=2,142.

Необходимо сравнить опытное значение с теоретическим значением. Теоретическое значение находят по специальным таблицам, Входом в таблицу является гарантированная вероятность и число степеней свободы. Число степеней свободы находят по формуле , где k – число разрядов в таблице (в нашем случае число столбцов k =7); s – число наложенных связей. Одна связь присутствует всегда. Действительно, если сумма вероятностей равна единице, то n -1 значений могут быть любыми, а одна всегда равна . Если потребуем равенства , то это еще одна связь. Если потребуем равенства дисперсий, то это еще одна связь. Итого три. Следовательно, число степеней свободы . По таблице, для уровня значимости , при , находим .

Вывод. Так как , то с вероятностью 90% можно утверждать, что нет оснований для того, чтобы отвергнуть гипотезу. Вероятность того, что мы ошибаемся равна .

Примечание. При отсутствии таблицы можно воспользоваться компьютером. Для этого в Excel вызвать Статистические функции, ХИ2ОБР и в появившемся подменю указать Вероятность 0,1, Степеней свободы 4. Ок. Прочитать ответ 7,77944.

Пример 1. 2. В казино поступила жалоба, что игральная кость с неравномерным выпадением очков. Необходимо проверить следуют ли экспериментальные данные закону равной вероятности. Для решения этой задачи проведен эксперимент, в котором произведено 600 бросаний.

Используем критерий χ². Основная гипотеза Н о: , конкурирующая гипотеза . Результаты эксперимента и промежуточные расчеты отражены в таблице.

Число очков,	Их число в эксперименте,	Теоретическое значение		Примечание
			0.01
			1.96
			0.49
			0.36
			0.09
			2.25
Всего			5,16

Суммируя, находим

Число степеней свободы: ; k =6 – число строк; s =3. Следовательно, r =6-3=3.

. Так как , то нет оснований для того, чтобы отвергнуть гипотезу о равномерном выпадении очков. Отклонения–следствие случайности. Вероятность того, что мы ошибаемся составляет 5%.