Классификация состояний

Исходным допущением для выделения классов состояний, в которых может находиться сложная система, служит лишь неформальное предположение о том, что объекты, относимые к одному классу, должны иметь большее сходство между собой, чем с объектами из других классов.

Выявление или нахождение классов во множестве данных исследуемой совокупности должно удовлетворять следующим требованиям:

а) каждый класс должен представлять собой концептуально однородную категорию и содержать похожие объекты с близкими значениями свойств или признаков;

б) совокупность всех классов должна быть исчерпывающей, то есть охватывать все объекты исследуемой совокупности;

в) классы должны быть взаимно исключающими, то есть ни один из объектов исследуемой совокупности не должен одновременно принадлежать двум различным классам.

Требование нахождения однозначной кластеризации элементов исследуемой проблемной области является достаточно грубым и жестким, особенно при решении плохо или слабо структурированных задач системного анализа. Поэтому возможно использование в данном случае методов ИИ, например нечеткой логики.

Пусть исследуемая совокупность данных представляет собой конечное множество элементов (множество объектов классификации):

Применительно к задаче управления режимами СС, таким множеством будет являться множество исследуемых состояний объекта управления, , где количество состояний. В свою очередь, также вводится конечное множество признаков или атрибутов

каждый из которых количественно представляет некоторое свойство или характеристику элементов рассматриваемой проблемной области. В качестве признаков используются факторы или входные параметры СС в виде «черного ящика», , где – количество признаков.

Предполагается, что для каждого из объектов кластеризации измерены все признаки множества P в количественной шкале. Тем самым каждому из элементов поставлен в соответствие вектор

где количественное значение признака для объекта данных Для определенности будем полагать, что все принимают действительные значения, то есть

Проблема измерения свойств или признаков у объектов данных является нетривиальной и имеет самостоятельное значение. Процесс измерения свойств может быть реализован в различных шкалах, каждая из которых характеризуется допустимым преобразованием данных. Множество признаков следует выбирать таким образом, чтобы все были измерены в шкале отношений или шкале интервалов. Именно в этом случае результаты классификации имеют содержательную интерпретацию, адекватную проблеме нахождения классов.

Векторы значений признаков удобно представить в виде матрицы данных D размерности , каждая строка которой равна значению вектора :

Для наглядной формулировки задачи классификации введем понятия покрытия и разбиения, известных из теории множеств.

Система подмножеств множества A называется покрытием, если выполняется следующее условие:

то есть объединение всех (или части) подмножеств из совпадает с исходным множеством A (или «покрывает» его).

Система подмножеств множества A называется разбиением, если выполняются следующие условия:

где

Другими словами, объединение всех (или части) подмножеств из совпадает (или «покрывает») с исходным множеством A, при этом подмножества разбиения попарно не пересекаются между собой.

Задачу классификации сформулируем следующим образом: на основе исходных данных определить такое разбиение или покрытие множества A на заданное число с классов , которое доставляет экстремум некоторой целевой функции среди всех разбиений или экстремум целевой функции среди всех покрытий.

В такой постановке задача классификации имеет простую геометрическую интерпретацию. При количестве признаков, например, равном 3 (q = 3) и множестве объектов кластеризации n = 40, числе кластеров (классов) c = 2, возможная из картин классификации будет иметь вид, показанный на рис. 22. Пространство признаков нормируется таким образом, чтобы все объекты классификации находились в области, ограниченной некоторым единичным гиперкубом. Крупными шариками показаны центры классов эквивалентности. Каждый из объектов классификации в той или иной степени принадлежит какому-либо классу. Естественно, что объекты, скопленные, например, вблизи центра класса № 2, имеют максимальную степень принадлежности к нему.

Рис. 22. Геометрическая интерпретация классификации состояний