Лінійний зв'язок

Лінійний зв'язок характеризує прямоліній­ну залежність між двома змінними. Знаходжен­ня зв'язку полягає в оцінці коефіцієнтів рівняння регресії.

Розглянемо найпростішу модель регресійного аналізу — двомірну. Рівняння виду називають лінійною регресійною моделлю. Змінна величина X називається незалежною:змінною, змінна Y — залежною змінною, U— член похибки (залишок), який дорівнює різниці між фактичними значеннями і зна­ченнями, які визначаються з рівняння регресії. Завдання полягає в оцінці па­раметрів - коефіцієнтів а і — на основі значень спостереження (X, Y). Мо­дель лінійної регресії, яка описує залежність між значеннями (Х_i , У_i), / = 1, 2....р, у вибірці, що містить Р спостережень, подається у вигляді:

Диференціюючи S відповідно за а і b і прирівнявши значення часткових до нуля, ми отримаємо систему лінійних рівнянь для а і Ь:

Методом найменших квадратів називають процедуру пошуку таких значень параметрів (а, Ь), які при підстановці р пар змінних у цю формулу, мінімізують суму квадратів регресійних залишків

Систему такого виду називають системою нормальних рівнянь. Розв'язок си­стеми, тобто знаходження а і В, визначається таким чином -

де — середні значення змінних.

Значення на прямій регресії, яке отримаємо методом найменших квадратів,

називають розрахунковим або теоретичним значенням Y_i, яке відповідає Х_i. Різ­ниця фактичного і розрахункового значення:

є залишком найменших квадратів. Залишок є розрахунковим значенням випад­кової похибки, яку неможливо спостерігати.

Для визначення щільності зв'язку між двома змінними часто використову­ють коефіцієнт детермінації, який визначають так:

Оскільки зв'язок між ознаками може бути не тільки різної щільності (табл. 4.2), а й напрямку, то розраховують коефіцієнт кореляції г, який змінюєть­ся від -1 до +1, а знак свідчить про пряму (+) залежність або обернену (-).

де — середнє значення добутку змінних Хі К; — дисперсія ознаки X; — дисперсія ознаки Y.

Таблиця 4.2

Сила зв'язку між двома змінними залежно від величини коефіцієнта кореляції

Коефіцієнт кореляції	Щільність зв'язку
Від ±0,81 до ±1,00	Сильна
Від ±0,61 до ±0,80	Помірна
Від ±0,41 до + 0,60	Слабка
Від ±0,21 до ±0,40	Дуже слабка
Від 0,00 до + 0,20	Відсутня

Криволінійний зв'язок є більш складним, але метод найменших квадратів надає можли­вість визначати коефіцієнти рівняння регресії.