Построение линии пресечения двух поверхностей методом секущих сфер (концентрических сфер посредников)

Этот способ применяется для построения линии пересечения двух поверхностей вращения при условии, что оси поверхностей пересекаются между собой и параллельны одной из плоскостей проекций. Известно, что если сфера имеет центр на оси заданной поверхности вращения и пересекает эту поверхность, то линия пересечения будет окружностью. Если к тому же ось вращения заданной поверхности параллельна одной из плоскостей проекций, то указанная окружность проецируется на эту плоскость в отрезок прямой, перпендикулярной проекции оси вращения на ту же плоскость. На рис. 8.18 показано построение линии пересечения параболоида вращения с конусом вращения.

Для нахождения искомой линии в начале следует провести плоскость-посредник Р через оси заданных поверхностей и найти линии ее пересечения с параболоидом и конусом. На плоскости П₂ эти линии будут очерками заданных поверхностей. Точки 1₂, 2₂, 3₂, 4₂ пересечение очерченных линий рассматриваемых поверхностей принадлежат искомой линии перехода. Для нахождения других точек линии сечения опишем из точки О сферу таким радиусом, чтобы она пересекала заданные поверхности. На плоскости П₂ эта сфера проецируется в окружность, пересекающую очерки параболоида в точках А₂, В₂, С₂, D₂ и конусов в точках Е₂, F₂, G₂, H₂. Отрезки А₂В₂ и С₂D₂ являются проекциями на П₂ окружностей, по которым проведенная сфера пересекается с параболоидом. Отрезки E₂F₂ и G₂H₂ -проекции на П₂ окружностей, по которым та же сфера пересекается с конусом. Точка 5₂=C₂D₂ÇE₂F₂ и точка 6₂=C₂D₂ÇG₂H₂ принадлежат проекции на П₂ искомых линий перехода (в данном случае их две). Число сфер-посредников следует брать таким, чтобы полученных точек искомой линии перехода было достаточно для ее построения.

Рисунок 8.18

Найденные точки 1₂, 5₂, 2₂ и 3₂, 6₂, 4₂ нужно соединить плавными кривыми, которые и будут видимыми участками фронтальных проекций искомых линий перехода. Границей видимых этих линий на П₂ является очерковая линия заданного параболоида невидимые участки проекции линии перехода совпадают с видимыми и потому невидимые точки 5'₂ и 6'₂ на рис. 8.18 не показаны.

Если требуется построить и горизонтальную проекцию, то на П₁ проводят окружность, в которую проецируются линии пересечения параболоида с каждой сферы-посредником, и на этих окружностях находят точки 5₁, 5'₁ и 6₁, 6'₁. Точки 1₁, 2₁, и 3₁, 4₁ находятся на следе Г₁. Соединение полученных горизонтальных проекций точек линий перехода должно быть произведено в следующем порядке: 1₁, 5₁, 2₁, 5'₁, 1₁, и 3₁, 6₁, 4₁, 6'₁, 3₁. Границами видимости этих кривых на полкости П₁ будут очерковые образующие конусы.