Геометрия Б. Римана

Б. Риман обобщил метод построения геометрии Гаусса с двух измерений на произвольное число измерений. Здесь речь идет об абстрактных математических построениях без привычных евклидовых треугольников, окружностей и подобного рода фигур геометрии Евклида. Вместо абстрактного понятия Гаусса о бесконечно малом масштабе измерения, но интуитивно представляемого

Б. Риман ввел более «прозаическое» в математическом смысле понятие индекса обозначений.

Индекс обозначений в геометрии Б. Римана позволяет в пространстве с произвольным числом измерений описать положение каждой точки этого пространства, не прибегая к наглядным представлениям. Следовательно, понятие пространства значительно расширило свое содержание. Можно говорить, например, о социальном пространстве и т. д. Предположим, что нам необходимо исследовать пространство поколений некоего гражданина S, имевшего детей. Если использовать индексы обозначений, тогда возможна следующая геометрия Римана (рис. 6).

Рис. 6. Пространство поколений гражданина S в геометрии Римана

Пространство поколений данного гражданина будет определяться количеством и последовательностью индексов. Отсутствие потомства обозначается индексом 0. Каждой точке такого пространства будет однозначно соответствовать определенное количество индексов

В геометрии Римана используется понятие тензора. Тензор (лат. tensus—

напряженный) — это величина, характеризующая «напряженность» компонентов

в областях пространства. Так, для определения положения 3-го поколения гр. S необходимо 4 индекса, для 2-го — 3 индекса, для 1-го — 2 индекса, т. е. всегда на один индекс больше. Совокупность членов (компонентов) одной области (в данном случае одного поколения гр. S) называется тензором, поскольку все компоненты данной области (поколения) имеют одинаковое количество индексов обозначения. Тензоры имеют соответствующие ранги. Например, тензор 1-го ранга описывает «пространство» первого поколения в данном примере. Тензор 4-

го ранга в геометрии Римана соответствует нашему трехмерному миру (длина, ширина и высота). Математические исследования показали в дальнейшем, что понятие тензора в геометрии Римана можно использовать для описания поля тяготения в его геометри-

ческой трактовке. В этом случае понадобится тензор с 20 компонентами

(импульс, энергия и т. д.).