Рис, 4. Система координат Гаусса для искривленной поверхности

В этой системе координат масштаб измерения по каждой из ее составляющих (V, U) меняется в соответствии с их кривизной, а расстояние между точками Р и Р' на поверхности сферы определяется уже на основе модификации теоремы Пифагора: (ds)2

= E (du)2+ 2 F du dv+ G (dv)2, где ds — бесконечно малое расстояние между точками Р и

Р', Е— коэффициент кривизны катета a, G — коэффициент кривизны катета b, F — коэффициент кривизны линии, соединяющей точки Р и Р'. В системе прямоугольных координат Декарта имеет место формула: (РР')2 = a 2 + b 2

Наряду с модификацией теоремы Пифагора К. Гауссом была доказана так называемая «великолепная теорема»: К= l/R 1 • l/R 2, где К— коэффициент кривизны, R 2 — малый радиус окружности, касательной в точке определения кривизны пространства, R 1 — большой радиус аналогичной окружности. Идея этой теоремы заключается в следующем. Для определения кривизны, например, поверхности в определенной точке из этой точки восстанавливают перпендикуляр

к данной поверхности. Эта линия называется нормальной вертикалью. Затем через данную нормальную вертикаль проводят множество плоскостей, которые пересекают данную поверхность самым различным образом. В каждой из этих плоскостей можно построить окружность с радиусом, равным одному из отрезков

на указанной выше вертикали. Эти окружности касаются поверхности в точке, где определяется ее кривизна. Среди этих окружностей всегда имеются две окружности. Одна с наименьшим радиусом, другая — с наибольшим радиусом. Радиусы этих окружностей определяют кривизну поверхности в данной точке именно совместно (произведение), а не по отдельности (рис. 5).

Рис. 5. Седловидная поверхность Лобачевского - Больяй

Если совместить точку Ρ с началом прямоугольной системы координат (координата Y совпадает с линией C 1 PC 2, а Х — с перпендикулярной линией, пересекающей C 1 PC 2 в точке Р), то радиус окружности, касательной в точке Р 1 находящейся на РС 1, будет иметь положительное числовое значение, а радиус окружности на линии РС 2 — значение отрицательное. Произведение обратных числовых значений радиусов этих окружностей будет иметь отрицательное числовое значение (К < 0)

С точки зрения неевклидовой геометрии возможны следующее значения кривизны К: К> 0 — это сферическая геометрия. В этой геометрии линии имеют конечную длину, двигаясь по ним, мы снова возвращаемся к исходной точке, сумма углов треугольника здесь всегда больше 180°. К < 0 — это геометрия Лобачевского и Больяй. Здесь линии обладают бесконечной протяженностью, и через точку, лежащую вне прямой линии, можно провести бесконечное множество не пересекающихся с ней линий. Сумма углов треугольника здесь всегда меньше 180. К = 0 — это евклидова геометрия.

Таким образом, математическое понятие «бесконечно малого масштаба измерения» стало ключевым для создания неевклидовой геометрии. Наглядность пространственной симметрии стала уступать симметрии чисел.