Ортонормированные базы

Из курса аналитической геометрии известно, что можно ввести понятие скалярного произведения векторов, и, как оказывается, и длина вектора, и угол между векторами в свою очередь могут быть выражены через скалярное произведение. Линейное пространство оказалось беднее понятиями и свойствами, чем наше обыкновенное пространство, в нем не нашли отражения такие понятия, как длина отрезка, величина угла, скалярное произведение.

В любом n -мерном линейном пространстве аксиоматически определим, при помощи некоторых свойств, скалярное произведение векторов.

Определение. Будем говорить, что в n -мерном действитель­ном линейном пространстве определено скалярное произведение, если вся­кой паре векторов a, b поставлено в соответствие действительное число, обозначаемое (a, b), называемое скалярным произведением векторов a, b, если выполняются условия:

1) (a, b) = (b, a),

2) (a + b,с)= (a,с) + (b,с),

3) ( a, b) = (a, b),

4) (a, a) > 0, если

Длиной вектора a называется величина

Определение. Если в n -мерном действительном линейном про­странстве определено скалярное произведение, то это пространство E_n называется n -мерным евклидовым пространством.

При любом n в n -мерном линейном пространстве можно определить скалярное произведение, т.е. можно превратить это пространство в евклидово. Действительно, возьмём в линейном пространстве V_n любой базис

Если

то положим

(7.1)

Легко проверить, что условия 1)−4) будут выполнены, т.е. равенство (7.1) в пространстве V_n определяет скалярное произведение.

Векторы a, b называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю,

(a, b) = 0.

Из определения n -мерного линейного евклидова пространства следует существование линейно независимой системы из n векторов

.

Рассмотрим процесс ортогонализации, т.е. процесс получения ортогональной системы из системы .

1) Положим

2) Вектор будем искать в виде

.

Неизвестный коэффициент определяется из условия ортогональности (b ₁, b ₂) = 0.

3) Вектор будем искать в виде

.

Неизвестные коэффициенты , определяется из условий ортогональности (b ₁, b ₃) = 0, (b ₂, b ₃) = 0.

Продолжая этот процесс, мы построим искомую ортогональную систему .

Назовем вектор e нормированным, если его скалярный квадрат равен единице,

(e, e) = 1.

Из любого вектора b, отличного от нуля, нормированием, т.е. переходом к вектору

(7.2)

получают нормированный вектор, длина которого

Определение. Базис n -мерного евклидового пространства называется ортонормированным, если он ортогонален, а все его вектора нормированы.

Можно сделать вывод, что всякое евклидовое пространство обладает ортонормированным базисом.

Для скалярного произведения двух векторов евклидова пространства

заданных в ортонормированном базисе, имеет место формула

откуда

Пример 1. Система векторов

является базисом пространства E ₃. Построить ортонормированную базу.

Решение. Применим процесс ортогонализации. Положим

Вектор будем искать в виде

,

Получили

Вектор будем искать в виде

,

Получили

Нормируя векторы, найдем базис

Пример 2. Будем считать векторами многочлены от x степени не выше второй. Скалярное произведение векторов определим как определенный интеграл их произведения

Найти ортогональный базис.

Решение.Векторы 1, x, x ² образуют базис. Применим к этому базису процесс ортогонализации.

Положим Вектор будем искать в виде

Получили Вектор будем искать в виде

,

Получили