Базисы в пространствах

Система векторов называется базисом пространства , если любой вектор может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы:

.

Числа называют коэффициентами разложения вектора по базису .

В пространстве примером базиса может служить система единичных ортов: . Данный базис принято называть естественным, т.к. коэффициентами разложения любого вектора по базису являются координаты этого вектора. Например, .

В пространстве естественный базис образует система векторов .

Теорема 5. Если система векторов образуют базис в , то она линейно независима.

Теорема 6. Любые линейно независимых векторов пространства образуют в нем базис.

Пример 3. (Образец решения задачи 3 из контрольной работы). Даны векторы , , . Определить образуют ли векторы , и базис в пространстве и если да, то разложить вектор по этому базису.

Решение. Составим определитель из векторов , и :

Т.к. , то система - линейно независима и по теореме 12 образует базис в пространстве . Значит, вектор может быть единственным образом представлен в виде:

с пока неизвестными коэффициентами Переходя от равенства векторов к равенству их соответствующих координат приходим к системе линейных уравнений:

,

откуда:

.

Решая эту систему, например, методом Крамера (сделайте это самостоятельно), получим: , . Следовательно,

.n