 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
A // b) Ù (a ^p') Þ (a' // b')
|
|
A Î b Ù (A' Î m' Î b') Ù (A'' Î m'' Î b'').
Справедливо и обратное утверждение.
Если проекции точки A' и A'' принадлежат соответствующим проекциям линий m' и m'', которые в свою очередь принадлежат одноименным проекциям поверхности b' и b'', то точка А принадлежит поверхности b.
7. Если фигура Ф принадлежит поверхности b, перпендикулярной плоскости проекции p ', то ортогональная проекция этой фигуры Ф' принадлежит следу поверхности h ob:
Ф Ì b) Ù (b ^p') Þ Ф' Ì hob.
8.Если фигура Ф принадлежит плоскости g, параллельной плоскости проекций p ', то ортогональная проекция этой фигуры на плоскость p ' конгруэнтна самой фигуре: (Ф Ì g) Ù (g // p ') Þ Ф' @ Ф.
9. Если ÐАВС прямой и сторона ВС этого угла параллельна плоскости
проекций p ', а сторона ВА не перпендикулярна плоскости p ', то ортогональная проекция угла на плоскость p ' ¾ А'В'С' = 90о: (ÐАВС = 900) Ù ([BC) // p ', [BA ^ p ') Þ А'В'С' = 90о.
10. Если точка К есть результат пересечения прямых a и b, то ортого - нальная проекция этой точки определяется пересечением ортогональных проекций этих прямых:
К = (a Ç b) Þ K1 = (a1 Ç b1) Ù K2 = (a2 Ç b2).
11. Если прямые a и b параллельны между собой и не перпендикулярны плоскости проекций p ', то параллельны и их ортогональные проекции на эту плоскость:
a // b) Ù (a ^p') Þ (a' // b').
12. Если отрезок [АВ] параллелен отрезку [СD], то отношение длин отрезков равно отношению длин их ортогональных проекций: [АВ] // [СD] Þ êАC ê/ êCB ê= êA1C1 ê / êC1D1½.
13. Если точка С принадлежит отрезку [АВ], то отношение [АС] к [СВ] равно отношению их проекций: 
С Î [АВ] Þ ½АС½ ¤ ½СВ½ = ½ А1С1 ½ ¤ ½С1В1½.
Вопросы для самопроверки
1. Какие геометрические элементы включает в себя аппарат проецирования?
2. В каком случае проекция точки будет совпадать с самой точкой-оригиналом?
3. Какие методы проецирования вы знаете?
4. Перечислите свойства центрального проецирования.
5. Укажите свойства, общие для центрального и параллельного проецирования.
6. Назовите свойства, присущие только параллельному проецированию.
7. Какими полами плоскостей проекций ограничены четверти пространства: первая, вторая, третья и четвертая?
8. Как называются и обозначаются основные плоскости проекций?
9. Как читается теорема о проецировании прямого угла?
2 Точка
Точка как математическое понятие не имеет размеров. В геометрии под точкой целесообразно понимать физический объект, имеющий линейные размеры. Условно за точку можно принять шарик с бесконечно малым радиусом.
Точки пространства обозначают прописными буквами латинского алфавита или арабскими цифрами: A, B, C, D и т.д. и 1, 2, 3,… Проекции точек обозначаются теми же буквами, что и оригинал, с добавлением нижних индексов соответствующих плоскостей проекций: А1, В1,…,А2, В2, …,11, 12… и т.д.
Линия пересечения плоскостей проекций называется осью проекций. Координатами некоторой точки являются числа: они выражают длины отрезков координатных осей, измеренные некоторой установленной единицей длины (в инженерной графике за единицу длины принят миллиметр).
Представим в пространстве некоторую точку А в системе двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций p1 и p2 (рисунок 5, а). Чтобы построить проекцию точки А на плоскости p2, проведем через точку А проецирующую прямую (АА2 ^ p2) и отметим точку А2 (фронтальная проекция точки А), ее пересечения с этой плоскостью. Проведя проецирующую прямую через точку А (АА1 ^ p1) в ее пересечении с плоскостью p1, получим А1 (горизонтальная проекция точки А).
а) б) в)
Рисунок 5
Опустим перпендикуляр из А2 на прямую Ох; он пересечется с ней, а, следовательно, с плоскостью p1 в точке Ах. Опустив перпендикуляр из А1 на прямую Ох, мы найдем ту же точку Ах. Отрезок АА2 = А1Ах представляет собой расстояние от точки А до плоскости p2. Отрезок А2Ах = АА1 является расстоянием от точки А до плоскости p1. Проецирующие прямые АА1 и АА2, исходящие из точки А, задают плоскость, которую называют проецирующей плоскостью, она перпендикулярна плоскостям проекций p1 и p2 и оси проекций Ох.
Положение точки в пространстве вполне определяется ее ортогональными проекциями на две плоскости проекций.
Повернем плоскость p1 вокруг оси Ох до совмещения с p2, как показано на рисунке 5, а. Вместе с плоскостью переместится и точка А1, а также все другие точки поля проекций p1. В результате (рисунок 5, б) плоскость чертежа станет носителем двух полей проекций – p 1 и p2. Проекции А1 и А2 точки А расположены на одном перпендикуляре к оси проекций. Такой перпендикуляр (А1А2) называется линией проекционной связи. Чертеж, плоскость которого является носителем двух полей проекций, расположенных так, что линии связи перпендикулярны оси проекций, называется эпюром или эпюром Монжа. Без обозначения плоскостей p1 и p2 этот чертеж приведен на рисунке 5, в.
Для решения ряда задач бывают необходимы три и более изображений. Поэтому вводят дополнительные плоскости проекций. Наиболее часто используют третью плоскость проекций (p3), перпендикулярную к двум данным:
p3 ^ p1, p3 ^ p2 - называемой профильной плоскостью проекций (рисунок 6, а).
а) б)
Рисунок 6
Она пересекается с плоскостью p1 по линии Y, а с плоскостью p2 – по линии Z.
Чтобы построить профильную проекцию (А3) точки А на плоскости p3, необходимо через точку А провести прямую, перпендикулярную p3. В пересечении этой прямой с p3 определится точка А3. Перпендикуляры, опущенные из А1 и А3 на ось Y, пересекаются с нею в точке Аy; перпендикуляры, опущенные из А2 и А3 на ось Z, пересекаются с нею в точке Аz. Расстояние точки А от плоскости p1 измеряется отрезком А2А х = АА1, расстояние от плоскости p2 – отрезком А1Ах = АА2, расстояние от p3 – отрезком А1Аy = АА3.
Чтобы перейти к чертежу (рисунок 6, б), на котором все три поля проекций совмещены с одной плоскостью, повернем плоскость p3 вокруг оси Z, а плоскость p1 – вокруг оси Х до совмещения с плоскостью p2. Одновременно переместятся и точки А1 и А3. Построение профильной проекции (А3) точки А по фронтальной и горизонтальной проекциям показано на рисунке 6, б. Можно воспользоваться дугой окружности радиусом ОАy или прямой, проводимой из точки Аy под углом 45о, или с помощью постоянной прямой чертежа (Â). Отметим, что горизонтальная проекция точки А определяется абсциссой Х и ординатой Y; ее фронтальная проекция - абсциссой Х и аппликатой Z, а профильная проекция – ординатой Y и аппликатой Z.
Таким образом, по двум ортогональным проекциям точки можно определить все три ее координаты; по трем координатам точки можно построить ее проекции (комплексный чертеж точки).
Как отмечалось выше, три плоскости проекций делят пространство на восемь частей, называемых октантами. В общем случае точка может быть расположена в любом октанте. Плоскости p1 и p2 при пересечении образуют четыре двугранных угла; их называют квадрантами или четвертями пространства. Ось Х делит плоскости p1 и p2 на полуплоскости. Фронтальная плоскость (p2) состоит из верхней и нижней полуплоскостей, а горизонтальная плоскость (p1) – из передней и дальней полуплоскостей.
Принято считать, что зритель всегда находится в первой четверти пространства (условно – на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций), плоскости же проекций непрозрачны, поэтому видимы только точки, расположенные в первой четверти, а также на полуплоскостях p1 и p2.
По отношению к плоскостям проекций точка может занимать общее положение, т.е. находиться вне каждой из них (рисунок 5, 6), и частное положение – находиться на одной из плоскостей, сразу на двух плоскостях проекций и одновременно на трех. Если точка находится на одной из плоскостей проекций, то две из трех проекций точки находятся на осях проекций. На рисунке 7
изображена точка А, принадлежащая, фронтальной плоскости проекций, точка В – горизонтальной, С – профильной. В этом случае две из проекций точки будут на осях – А1 и А3, В2 и В3, С1 и С2, а третья - на соответствующем поле проекций и будет совпадать с самой точкой A2 º А, В1 º В и С3 º С.
Рисунок 7
Точка, находящаяся одновременно на двух плоскостях проекций, изображена на рисунке 8. Так, например, точка D принадлежит плоскостям p1 и p2, т.е. лежит на оси Х. Две проекции D1 и D2 совпадают с самой точкой D, третья проекция D3 находится в точке начала координат (О).
Рисунок 8 Рисунок 9
Точка Е принадлежит плоскостям p2 и p3, т.е. лежит на оси Z. Две проекции Е2 и Е3 совпадают с самой точкой Е, горизонтальная проекция (Е1) точки Е находится в точке начала координат (О).
Точка, лежащая на трех плоскостях проекций, есть начало координат О.
Точки могут принадлежать одна другой, такие точки называют двойными. На чертеже будут совпадать одноименные проекции этих точек, например, точек А и В на рисунке 9.
Точки могут не принадлежать одна другой. В этом случае на чертеже не совпадают одноименные проекции этих точек, например точек С и D (рисунок 9).
В частном случае, если у несовпадающих точек совпадают одни из одноименных проекций (например, горизонтальные проекции точек Е и F на рисунке 9), по их несовпадающим проекциям можно определить, какая из них находится дальше от соответствующей плоскости проекций. Так, например, точка Е расположена выше точки F, т.е. дальше от плоскости p1, чем точка F, а следовательно, относительно горизонтальной плоскости проекций (p1), точка Е видима, а точка F невидима. Точки Е и F называются конкурирующими.
Таким образом, положение точки в пространстве вполне определяется ее ортогональными проекциями на две плоскости проекций.
Точка в пространстве удалена от плоскостей проекций p1, p2 и p3 на величины удаления от оси соответственно ее горизонтальной, фронтальной и профильной плоскости проекций. Горизонтальная и фронтальная проекции любой точки предмета располагаются на одной линии связи, перпендикулярной к оси проекций Ох, фронтальная и профильная проекции точки – на одном перпендикуляре к оси Оz, горизонтальная и профильная – на одном перпендикуляре к оси Оy.
По расположению проекций точки относительно плоскостей проекций можно судить о положении точки в пространстве, т.е. можно установить, на каких расстояниях от плоскостей проекций и в каких октантах находится точка. На рисунке 10 показаны точки, принадлежащие разным углам пространства, а на рисунке 11 дан эпюр этих точек.
Точка А находится в первом октанте, горизонтальная проекция (А1) точки А лежит под осью проекций Х, а фронтальная проекция (А2) – над осью проекций Х.
Точка В находится во втором октанте, обе ее проекции В1 и В2 расположены над осью проекций Х.
Точка С находится в третьем октанте, горизонтальная ее проекция С1 расположена над осью проекций Х, а фронтальная проекция С2 – под осью проекций.
Точка D находится в четвертом октанте, обе ее проекции D1 и D2 расположены под осью проекций Х.
Точка Е принадлежит плоскости проекций, одна ее проекция совпадает с самой точкой, а другая лежит на оси. Если точка инциндентна плоскости проекций, то одна ее проекция инциндентна оси Х. Вторая проекция может быть расположена как выше, так и ниже оси в зависимости от того, какой полуплоскости принадлежит данная точка. Так, точка Е лежит на дальней горизонтальной полуплоскости. Горизонтальная проекция (Е1) точки Е расположена выше оси Х, фронтальная проекция Е2 – на оси Х и совпадает с самой точкой: Е º Е2. Точка F лежит на передней горизонтальной полуплоскости.
Рисунок 10
Рисунок 11
На рисунке 12 показаны точки К и U, одинаково удаленные от плоскости проекций p1 и p2. Данные точки принадлежат биссекторным плоскостям – плоскостям, делящим углы пространства пополам.
Рисунок 12
Плоскость, делящая первый и третий углы пространства пополам, называют первой биссекторной плоскостью. Плоскость, делящую второй и четвертой углы пространства пополам, называют второй биссекторной плоскостью.
Точка К принадлежит первой биссекторной плоскости и находится в первом октанте, а точка U принадлежит второй биссекторной плоскости и находится во втором октанте.
Вопросы для самопроверки
1. Как принято обозначать точки пространства?
2. Как обозначают проекции пространственной точки и по какому признаку их различают между собой?
3. Как могут быть расположены на эпюре проекции одной и той же пространственной точки относительно оси проекций?
4. Почему одна проекция точки не определяет ее положение в пространстве?
5. Что называется линией проекционной связи?
6. В каких четвертях пространства координата Z точки положительна, отрицательна?
7. В каких четвертях пространства координата Y точки положительна, отрицательна?
8. Что такое октанты?
9. Какой октант имеет отрицательное направление всех осей?
10. Как по комплексному чертежу узнать, является ли точка точкой частного положения?
11. Какие знаки имеют координаты X, Y, Z точки, находящейся в I, II, III,…,YIII октанте?
12. Какие координаты на эпюре определяют горизонтальную и фронтальную проекции точки?
3 Прямая
Известно, что линию вполне определяют две ее точки, то на комплексном чертеже всякая прямая l может быть задана проекциями двух ее точек. Для прямых линий используются следующие обозначения:
(АВ) – прямая, проходящая через точки А и В;
[AB) – луч с началом в точке А;
[АВ] – отрезок прямой, ограниченной точками А и В.
Линии, произвольно расположенные по отношению к плоскости проекций, могут обозначаться и строчными буквами латинского алфавита: a, b, c,…, l, m, n,…и т.д.
3.1 Положение прямой линии относительно плоскостей проекций
Относительно плоскостей проекций прямая линия может занимать различное положение:
- не параллельно ни одной из плоскостей проекций;
- параллельно одной из плоскостей проекций (прямая линия может и принадлежать этой плоскости проекций);
- параллельно двум плоскостям проекций, т.е. перпендикулярно третьей.
Прямую линию (АВ), не параллельную ни одной из основных плоскостей проекций (рисунок 13), называют прямой общего положения.
Рисунок 13
Прямая линия может занимать относительно плоскостей проекций особые (частные) положения. Прямые линии, параллельные одной из плоскостей проекций, называют прямыми уровня. Название их зависит то того, какой плоскости они параллельны.
Прямая линия (CD), параллельная (p1) горизонтальной плоскости проекций (рисунок 14), называется горизонтальной прямой и обозначается буквой ” h ”.
Рисунок 14
Фронтальная ее проекция C2D2 параллельна оси Х, горизонтальная проекция C1D1 может занимать произвольное положение и равна самому отрезку:
C1D1 = CD.
Прямая линия (EF), параллельная (p2) фронтальной плоскости проекций (рисунок 15), называется фронтальной прямой и обозначается буквой “ f ”.
Рисунок 15
Горизонтальная ее проекция E1F1 параллельна оси Х, а фронтальная проекция E2F2 может занимать произвольное положение и равна самому отрезку: E2F2 = E2F2.
Прямая линия (MN), параллельная (p3) профильной плоскости проекций (рисунок 16), называется профильной прямой и обозначается буквой ” p ”. Горизонтальная (M1N1) и фронтальная (M2N2) проекции прямой MN располагаются на одном перпендикуляре к оси проекции Х, профильная проекция (M3N3) занимает произвольное положение и равна самому отрезку: M3N3 = MN.
Рисунок 16
Прямые линии, перпендикулярные к плоскостям проекций, называются проецирующими. Эти прямые, будучи перпендикулярными одной плоскости проекций, оказываются параллельными двум другим плоскостям проекций. Поэтому у проецирующих прямых линий одна проекция представляет собой точку, а две другие проекции параллельны самой прямой и совпадают на чертеже с направлением связи (рисунок 17).
Прямая линия (АВ), параллельная плоскостям p2 и p3, т.е. перпендикулярна к плоскости p1, называется горизонтально-проецирующая прямая (рисунок 17, а). Такая прямая проецируется на плоскость p1 в точку, а ее фронтальная проекция перпендикулярна оси Х.
Прямая линия (СD), параллельная плоскостям p1 и p3, т.е. перпендикулярна к плоскости p2, называется фронтально-проецирующая прямая (рисунок 17, б). Эта прямая проецируется на плоскость p3 в точку, а ее горизонтальная проекция перпендикулярна оси Х.
Прямая линия (EF), параллельная плоскостям p1 и p2, т.е. перпендикулярна к плоскости p3, называется профильно-проецирующая прямая (рисунок 17, в).
Эти прямые линии могут принадлежать плоскости проекции.
Рисунок 17
Характерным признаком для эпюра, на котором изображена такая прямая линия, будет принадлежность одной из проекций прямой оси. На рисунке 18 показаны проекции прямых линий h, f, p. Прямая линия h принадлежит горизонтальной плоскости проекций: h Ì p1 (рисунок 18, а.).
Прямая линия f принадлежит фронтальной плоскости проекции: f Ì p2. Прямая линия р принадлежит профильной плоскости проекций: р Ì p3. Прямые линии h, f, p являются нулевыми горизонталью, фронталью и профильной прямыми.
Две точки, лежащие на одной проецирующей прямой, называются конкурирующими. Конкурирующие точки помогают определить видимость отдельных элементов предметов на данной плоскости проекций.
Из двух горизонтально-конкурирующих точек А и В (рисунок 17) на плоскости p1 видима та, которая выше, т.е. точка А, а вторая точка В оказывается под точкой А.
Из двух фронтально-конкурирующих точек C и D (рисунок 17) на плоскости p2 видима та, которая ближе к наблюдателю, т.е. точка D, а точка С невидима, так как расположена за точкой D.
Из двух профильно-конкурирующих точек E и F (рисунок 17) на плоскости p3 видима та, которая левее, т.е. точка Е.
Рисунок 18
3.2 Следы прямой линии
Следами прямой линии называются точки ее пересечения с плоскостями проекций. В зависимости от того, с какой плоскостью проекций пересекается прямая линия, след прямой называется фронтальным, горизонтальным или профильным. Координата фронтального следа, координата Z горизонтального и координата Х профильного следа равна нулю. На рисунке 19, а точка М – горизонтальный след прямой АВ, точка N – фронтальный. Горизонтальная проекция М1 горизонтального следа прямой совпадает с самим следом – точкой М (М1 º М), а фронтальная проекция этого следа М2 лежит на оси Х. Фронтальная проекция N2 фронтального следа прямой АВ совпадает с точкой N (N º N2), а горизонтальная проекция N1 лежит на оси Х.
Рисунок 19
Чтобы построить на чертеже горизонтальный след прямой АВ, надо (рисунок 19, б) продолжить фронтальную проекцию А2В2 прямой до пересечения с осью Х (М2 = А2В2 Ç Х) и через точку М2 провести перпендикуляр к оси Х до пересечения с продолжением горизонтальной проекции А1В1. Точка М1– горизонтальная проекция горизонтального следа.
Для построения фронтального следа прямой линии необходимо отметить точку пересечения горизонтальной проекции прямой (А1В1) с осью Х (N1 = А1В1 Ç Х) и через точку N1 провести перпендикуляр к оси Х до пересечения с продолжением фронтальной проекцией прямой А2В2. Точка N2 – фронтальная проекция фронтального следа.
Строить следы прямой линии необходимо, в частности, для того, чтобы решить через какие октанты проходит прямая линия. Прямая линия АВ на рисунке 19 проходит через II, I и IY октанты. Точка N расположена на верхней полуплоскости p2, которая разделяет I и II октанты, поэтому в точке N прямая переходит из II октанта в I. В точке М, которая лежит на передней полуплоскости p1, прямая проходит из I октанта в IY, так как передняя полуплоскость p1 разделяет именно эти октанты. Принято считать видимым все то, что расположено в I октанте. Поэтому проекции прямой линии АВ вычерчены сплошными линиями, отрезки, лежащие левее точки М и правее точки N – штриховыми линиями, т.е. невидимы.
3.3 Натуральная величина отрезка прямой линии и углы его
наклона к плоскостям проекций
Если отрезок прямой занимает общее положение, то ни на одной основной плоскости проекций нельзя определить его натуральную величину. Как известно, натуральная величина отрезка может быть определена как величина гипотенузы прямоугольного треугольника, одним катетом которого является проекция отрезка на какой-либо плоскости проекций, а другим – разность расстояний концов отрезка до этой же плоскости.
Угол в треугольнике между катетом – горизонтальной проекцией отрезка – и гипотенузой – его действительной величиной – равен углу наклона самого отрезка к горизонтальной плоскости.
Угол в треугольнике между катетом – фронтальной проекцией отрезка – и гипотенузой – его действительной величиной – равен углу наклона самого отрезка к фронтальной плоскости проекций.
Для определения натуральной величины отрезка АВ и углов a и b на рисунке 20 построены прямоугольные треугольники В1А1А'1 и В2А2А'2 .
Рисунок 20
Горизонтальную проекцию А1В1 принимаем за один катет. В треугольнике В1А1А'1 катет А1А'1 равен разности расстояний точек А и В до горизонтальной плоскости проекций (А1А'1 = В212), а гипотенуза В1А'1 будет равна длине проецируемого отрезка АВ. a - угол между прямой АВ и горизонтальной плоскостью проекций.
В треугольнике В2А2А'2 катет А2А'2 равен разности расстояний точек А и В до фронтальной плоскости проекций, гипотенуза В2 А'2 является натуральная величина одного и того же отрезка АВ. b - угол между прямой АВ и фронтальной плоскостью проекций.
Отрезок прямой общего положения спроецируется без искажения на плоскость, параллельную данному отрезку.
3.4 Относительное положение прямой и точки
Если точка принадлежит прямой, то проекции этой точки принадлежат одноименным проекциям прямой, т.е. если прямая проходит через точку, то проекции прямой проходят через проекции точки. Если хотя бы одна из проекций точки не принадлежит соответствующей проекции прямой, то и точка находится вне этой прямой. На рисунке 21 точка С принадлежит прямой АВ; точки D и E не принадлежат прямой АВ.
Рисунок 21
Проекции точки D совпадают с разноименными проекциями прямой (D1 Ì А2В2, а D2 Ì А1В1), а потому точка D не лежит на прямой АВ. Точка D находится в III четверти, а отрезок АВ – в I четверти. Совпадение D1 с А2В2 и D2 с А1В1 является случайным. Точка К не лежит на прямой MN, так как ее профильная проекция К3 не находится на профильной проекции этой прямой (M3N3).
Если точка принадлежит отрезку прямой, то она делит этот отрезок в каком-то определенном отношении. Одним из свойств параллельного проецирования является то, что отношение отрезков прямой линии равно отношению их проекций (рисунок 22): АС ¤ СВ = А'С' ¤ С'В', так как прямые АА', СС' и ВВ' параллельны между собой, т.е. если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне (теорема Фаллеса).
Рисунок 22 Рисунок 23
На рисунке 23 показан пример деления отрезка в отношении
АС ¤ СВ = 3 ¤ 2. Из произвольной точки концов отрезка АВ (например, из точки А1) проводим произвольную прямую линию и откладываем на ней пять равных между собой отрезков. Точку 5 соединяем с точкой В1. Через точку 3 проводим прямую, параллельную прямой 5-В1, до пересечения с А1В1 в точке С1. По точке С1 строим проекцию С2. В точке С отрезок АВ разделен в отношении 3: 2, считая от точки А.
3.5 Взаимное расположение двух прямых линий
Две прямые в пространстве (рисунок 24) могут совпадать a º b, быть параллельными с // d, пересекаться m Ç n и скрещиваться e ¾ l.
Если две прямые взаимно параллельны, то и одноименные их проекции также будут параллельны (рисунок 24, б): с // d Þ с 1// d1 Ù с2 // d2.
Особо нужно отметить профильные прямые, о параллельности которых можно судить только по их профильным проекциям.
Если две прямые в пространстве пересекаются, то пересекаются и одноименные их проекции, причем точки пересечения одноименных проекций пересекающихся прямых должны лежать на одной линии связи
 |
m1 Ç n1 = K1
m Ç n = K®
m2 Ç n2 = K2.
Если две прямые в пространстве скрещиваются, то одноименные проекции могут пересекаться в точках, не лежащих на одной линии связи:
e ¾ l Þ e1 ¾ l 1 = 11(21) – горизонтально-конкурирующие точки,
e2 ¾ l 2 = 32(42) – фронтально - конкурирующие точки,
или одна пара проекций будет пересекаться, а вторая может быть параллельными прямыми (рисунок 25).
Две прямые, параллельные или пересекающиеся, могут иметь общую проецирующую плоскость (рисунок 26, а), тогда их изображения на соответствующую плоскость проекций совпадут, то такие прямые называются конкурирующими:
 |
a2 Ç b2 = A2
a Ç b = A ®
a1 º b1, A1 Î a1(b1).
Прямые линии a и b, горизонтально-конкурирующие, имеют общую горизонтально-проецирующую плоскость (рисунок 26, б). Прямые линии cиd (рисунок 26, в), фронтально-конкурирующие, имеют общую фронтально-проецирующую плоскость.
Рисунок 24
Рисунок 25
а) б) в)
Рисунок 26
3.6 Проекции плоских углов. Свойство проекции прямого угла.
Свойство проекции биссектрисы
Величина угла, образуемого двумя пересекающимися прямыми, не параллельными плоскости проекций, может изменяться при проецировании. Поэтому в общем случае ни одна из проекций угла не выражает его истиной величины. Так, если стороны угла параллельны плоскости проекций, то угол проецируется на эту плоскость проекций в истинную величину (рисунок 27). Горизонтальная проекция угла АВС дает его истинную величину, так как обе его стороны угла параллельны горизонтальной плоскости проекций (p1), т.е. угол лежит в плоскости, параллельной p1. При этом фронтальные проекции стороны угла спроецируются в одну прямую, параллельную оси Х.
Если плоскость, в которой расположен некоторый угол, перпендикулярна к плоскости проекций, то он проецируется на эту плоскость проекций в виде прямой линии.
Рисунок 27 Рисунок 28
Прямые углы проецируются в общем случае с искажением. Однако они не искажаются при проецировании в следующем частном случае (рисунок 28 ). Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая сторона не перпендикулярна плоскости проекций, то прямой угол проецируется на эту плоскость проекций в истинную величину.
Пусть угол АВС = 90о и расположен так, что обе его стороны параллельны плоскости проекций p1 (рисунок 29). Тогда, как и всякая фигура, лежащая в плоскости параллельной p1, данный угол АВС спроецируется на плоскость p1 без искажения, т. е. его проекция ÐА1В1С1 = 90о.
Возьмем на линии связи АА1 какую-либо точку D и соединим ее с точкой В. Угол DВС тоже прямой, так как ВС ^ пл. АВА1В1. Проекция угла DВС совпадет с проекцией угла АВС, так как точки А и D лежат на одном перпендикуляре к плоскости p1. Таким образом, ÐА1В1С1 º ÐD1В1С1 = 90о.
Но, как видно из рисунка (рисунок 28), только одна сторона ВС угла DВС параллельна плоскости p1. Вторая сторона DВ наклонена к плоскости p1.
Таким образом, для того чтобы прямой угол спроецировался в натуральную величину, достаточно, чтобы хотя бы одна его сторона была параллельна плоскости проекций. Этой теореме о проецировании прямого угла соответствуют две обратные:
1. Если проекция плоского угла представляет собой прямой угол, то проецируемый угол будет прямым лишь при условии, что по крайней мере одна из сторон этого угла параллельна плоскости проекций;
2. Если проекция некоторого угла, у которого одна сторона параллельна плоскости проекций, представляет собой прямой угол, то проецируемый угол тоже прямой.
На основании вышеизложенного можно установить, что углы, изображенные на рисунке 29, в пространстве прямые.
Рисунок 29
Если биссектриса угла параллельна плоскости проекций, то проекция биссектрисы является биссектрисой проекции угла (рисунок 30).
Рисунок 30
Рассмотрим угол ВАС, у которого биссектриса АD параллельна гори-
зонтальной плоскости проекций (p1). Спроецируем угол ВАС на плоскость p1
- построим проекцию В1А1С1, а также А1D1. Проведем вспомогательную плос-
кость S, перпендикулярную к биссектрисе угла. Так как биссектриса параллельна p1 , плоскость S будет перпендикулярна p1.
Таким образом, ÐВАD = ÐDAC; А D // p1 и, следовательно, АD // А1D1. Так как S ^ А D, линия ВС ^ А D. Треугольники ВАD и DAC – прямоугольные. Эти треугольники равны, так как имеют общий катет и равные углы при вершине А. Их катеты равны: BD = DC.
Поскольку плоскость S ^ АD, то она перпендикулярна А1D1. Линия В1С1 также перпендикулярна А1D1 . Треугольники В1А1D1 = D1A1C1. Следовательно, углы при вершине А1 равны: Ð В1А1D1 = Ð D1A1C1.
Вопросы для самопроверки
1. Чем определяется проекция прямой линии?
2. При каком положении относительно плоскостей проекций прямая линия называется прямой общего положения?
3. Как расположена прямая линия в системе p1, p2, p3, если все три проекции отрезка этой прямой равны между собой?
4. Какие положения прямой линии в системе p1, p2, p3 считаются “особыми” (“частными”)?
5. Какие прямые линии называются прямыми уровня; проецирующими?
6. Как располагается фронтальная проекция отрезка прямой линии, если его горизонтальная проекция равна самому отрезку?
7. Как располагается горизонтальная проекция отрезка прямой линии, если его фронтальная проекция равна самому отрезку?
8. Как располагается горизонтальная и фронтальная проекция отрезка прямой линии, если его профильная проекция равна самому отрезку?
9. Как изображаются в системе p1, p2 две пересекающиеся прямые линии?
10. Как могут быть расположены в пространстве две различные прямые?
11. Как на комплексном чертеже располагаются проекции параллельных прямых линий?
12. Какое свойство проецирования относится к параллельным прямым линиям?
13. Можно ли по чертежу двух профильных прямых в системе p1 и p2 определить, параллельны ли между собой эти прямые?
14. Как на комплексном чертеже располагаются точки пересечения двух пересекающихся прямых?
15. Как располагаются точки пересечения одноименных проекций двух скрещивающихся прямых?
16. Что называется следами прямой линии?
17. Какие прямые линии называются конкурирующими?
18. Какие точки являются конкурирующими?
19. Теорема о проецировании прямого угла.
4 Плоскость
Плоскость можно представить как предельное понятие ровности или как бесконечную поверхность, имеющую на всем протяжении одинаковое направление.
В общем случае плоскость не может быть задана своими проекциями, так как проекции плоскости на каждую плоскость проекций занимают все поле проекций, и поэтому такое задание плоскости не определяет ее положение в пространстве. Поэтому на комплексном чертеже плоскость задают проекциями элементов, ее определяющих.
4.1 Задание плоскости на чертеже
Из геометрии известно, что плоскость вполне определяется: своими тремя точками, не лежащими на одной прямой a = {А; В; С} (рисунок 31, а); прямой и точкой, не лежащей на этой прямой a = {а; D} (рисунок 31, б); двумя пересекающимися прямыми a = {m Ç n } (рисунок 31, в); двумя параллельными прямыми a = {c || d} (рисунок 31, г); проекциями плоской фигуры a = {DАВС} (рисунок 31, д); следами – линиями пересечения плоскости с плоскостями проекций a = {foa Ç hoa} (рисунок 31, е).
а) б) в) г) д) е)
Рисунок 31
4.2 Плоскости общего и частного положения
В системе плоскостей проекций плоскость может занимать различное положение:
- плоскость не перпендикулярна ни к одной из плоскостей проекций;
- плоскость перпендикулярна лишь к одной из них;
- плоскость перпендикулярна к двум плоскостям проекций.
Плоскость, не перпендикулярную ни к одной из плоскостей проекций (т.е. произвольно наклоненную), называют плоскостью общего положения (рисунок 32).
Плоскость общего положения пересекает каждую из осей x, y, z. Следы плоскости общего положения никогда не перпендикулярны к этим осям. Плоскость a, пересекающая горизонтальную плоскость проекций по прямой линии, обозначается - h oa, фронтальную плоскость – по прямой f oa и профильную плоскость – по прямой p oa. Прямая h o a называется горизонтальным следом плоскости a, f oa - фронтальным следом плоскости a, p oa - профильным следом плоскости a. Каждая пара следов сходится в точке, которая называется точкой схода следов плоскости, и располагается на оси, которая обозначается Xa, Ya, Za. В этих точках плоскость пересекает оси координат.
Рисунок 32
Плоские фигуры, лежащие в плоскости общего положения, проецируются на плоскости проекций с искажением. В качестве примера покажем на эпюре Монжа, как определяются следы плоскости. Следы плоскости (рисунок 33) проходят через следы А1М1, N2 прямых, принадлежащих плоскости a(АВС).
Для нахождения следов плоскости необходимо предварительно определить следы двух прямых этой плоскости. Горизонтальный след плоскости пройдет через точку А1 (след прямых АВ и АС) и через точку М1 (след прямой ВС). Точка Хa пересечения следов (точка схода следов) лежит на оси Х. Фронтальный след плоскости пройдет через точку схода и через след N2 прямой ВС. Если точка схода следов находится за пределами чертежа, для проведения фронтального следа плоскости необходимо определение фронтального следа еще одной прямой, принадлежащей плоскости, например АВ. Если точка Хa бесконечно удалена, то следы плоскости расположатся параллельно оси проекций.
Рисунок 33
Кроме рассмотренного случая (рисунок 32), плоскость по отношению к плоскостям проекций может занимать частные положения. Плоскости частного положения подразделяются на плоскости проецирующие и плоскости уровня. Рассмотрим эти частные случаи.
Плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называется проецирующей. Возможны три случая частного положения.
1. Плоскость перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (p1) называется горизонтально-проецирующей плоскостью (a ^ p1). На рисунке 34 дан пример изображения горизонтально-проецирующей плоскости, рисунок 34, а – наглядное изображение, рисунок 34, б – чертеж в системе p1, p2 с указанием следов f oa и h oa, рисунок 34, в - плоскость задана проекциями треугольника. Фронтальный след плоскости a – f oa как линия пересечения
а) б) в)
Рисунок 34
плоскости a и p2 перпендикулярен к плоскости p1 и к оси Х, горизонтальный след h oa расположен произвольно. Угол bo служит линейным углом двугранного между плоскостью a и пл. p2 и проецируется на плоскость p1 без искажения своей величины: b1 @ b.
Если в горизонтально-проецирующей плоскости расположена точка, например, точка А, то ее горизонтальная проекция А1 должна быть на горизонтальном следе плоскости (h oa). Это относится и к любой системе точек, расположенных в горизонтально-проецирующей плоскости. Горизонтальный след плоскости h oa º a1 можно рассматривать как горизонтальную проекцию плоскости.
2. Плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (p2), называется фронтально-проецирующей плоскостью (b ^ p2). На рисунке 35 горизонтальный след фронтально-проецирующей плоскости h ob, перпендикулярен к оси Х, а фронтальный ее след f ob расположен произвольно. Если в фронтально-проецирующей плоскости расположена точка (А), то ее фронтальная проекция А2 должна быть на фронтальном следе плоскости f ob. Это относится и к любой системе точек. След f ob º b2 можно рассматривать как фронтальную проекцию пл.b. Угол ao, образованный плоскостями b и p1, проецируется на плоскость p2 без искажения своей величины: a2 @ a.
Рисунок 35
3. Плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций (p3), называется профильно-проецирующей плоскостью (g ^ p3). На рисунке 36 горизонтальный (h og) и фронтальный (f og) следы этой плоскости параллельны оси Х. Профильная проекция g3 любой точки, принадлежащей этой плоскости, совпадает с профильным следом p og, т.е. профильная проекция любой фигуры, лежащей в этой плоскости, есть прямая.
Рисунок 36
Плоскость, перпендикулярная к одной из плоскостей проекций, может, в частности, проходить через ось проекций. Такую плоскость дополнительно называют осевой плоскостью. Рассмотрим, например, осевую профильно-проецирующую плоскость d (рисунок 37).
Плоскость d проходит через ось Х и перпендикулярна к пл. p3, то следы плоскости f do и h od совпадают с осью и поэтому не определяют положение плоскости. Чтобы положение плоскости определялось, необходимо, кроме ее следов, задать в ней какую-либо точку. В частном случае эта плоскость может быть плоскостью биссектора. Тогда взятая в ней точка (К) будет равноудалена от плоскостей проекций (p1 и p2).
Рисунок 37
Таким образом, из вышерассмотренного следует, что у проецирующей плоскости на комплексном чертеже одна проекция есть прямая, на которой располагается проекции всех точек, линий и фигур, лежащих в этой плоскости. Это вырожденная в прямую линию проекция плоскости вполне определяет положение плоскости относительно основных плоскостей проекций. Проецирующая плоскость на комплексном чертеже может быть задана только своей “вырожденной“ проекцией.
Плоскости перпендикулярны к двум плоскостям проекциям (параллельны третьей плоскости проекций), также возможны три частных положения. Плоскость, параллельная одной из плоскостей проекций, называется плоскостью уровня.
1.Плоскость перпендикулярная плоскостям p2 и p3, т.е. параллельная p1 (рисунок 38), называется горизонтальной плоскостью уровня.
Фронтальный ее след f oe параллелен оси Х; горизонтального следа такая плоскость не имеет, так как с плоскостью p1 она не пересекается.
След (f oe º e2) можно рассматривать как фронтальную проекцию плоскости. Горизонтальная плоскость задается только фронтальным следом, который параллелен оси Х (рисунок 38, б). Любая фигура, расположенная в горизонтальной плоскости, проецируется на горизонтальную плоскость проекций в натуральную величину: А1В1С1 = АВС (рисунок 38, в).
Рисунок 38
2. Плоскость перпендикулярная плоскостям p1 и p3, т.е. параллельная
плоскости p2 (рисунок 39), называется фронтальной плоскостью уровня.
Горизонтальный ее след h ol параллелен оси Х; фронтального следа ее фронтальная плоскость не имеет, так как с плоскостью p2 она не пресекается. След (h ol º l) можно рассматривать как проекцию этой плоскости на плоскость p1 (рисунок 39, б). Любая фигура, расположенная во фронтальной плоскости, проецируется на фронтальную плоскость проекций в натуральную величину: А2В2С2 = АВС (рисунок 39, в).
Рисунок 39
3. Плоскость, перпендикулярная плоскостям p1 и p2, т.е. параллельная плоскости p3 (рисунок 40), называется профильной плоскостью уровня.
Следы плоскости f ot и h ot перпендикулярны к оси Х, пересекая ее в точке Хt. Профильная плоскость сочетает в себе свойства фронтально - и горизонтально - проецирующей плоскостей.
Рисунок 40
К примечательным свойствам плоскостей уровня относят следующее: если какая-либо фигура расположена в плоскости уровня, то она проецируется без искажения своего истинного вида на ту плоскость проекций, которой параллельна плоскость уровня.
Вопросы для самопроверки
1. Какими элементами пространства можно задать плоскости?
2. Как относительно плоскостей проекций может быть расположена плоскость?
3. Дайте определение плоскости общего положения.
4. Как располагается в системе основных плоскостей проекций плоскость общего положения?
5. Какие плоскости называются проецирующими?
6. Какие плоскости называются плоскостями уровня?
7. Укажите особенности проецирующих плоскостей.
8. Где располагается горизонтальная проекция любой системы точек, расположенной в горизонтально-проецирующей плоскости или фронтальной плоскости?
9. Где располагается фронтальная проекция любой системы точек, расположенной в горизонтальной или фронтально-проецирующей плоскости?
10. Перечислите все проецирующие и все плоскости уровня.
11. Что называется следом плоскости?
5 Взаимное положение точки, прямой линии и плоскости
К числу основных задач, решаемых на плоскости, относят:
- проведение любой прямой в плоскости;
- построение в плоскости некоторой точки;
- построение недостающей проекции точки;
- проверка принадлежности точки плоскости.
Решение этих задач основывается на следующих положениях геометрии:
- прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие данной плоскости;
- прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку, принадлежащую данной плоскости и параллельна прямой, находящейся в этой плоскости или параллельна ей.
При этом используется условие, что если точка принадлежит плоскости, то ее проекции лежат на одноименных проекциях прямой, принадлежащей плоскости.
5.1 Проведение любой прямой в плоскости
На рисунке 41 проекции прямой А1 проходят через проекции А1 и А2 – проекции вершины А треугольника АВС, и проекции 11 и 12 - проекции точки 
Рисунок 41 Рисунок 42
пересечения прямой А1 со стороной ВС треугольника АВС. Прямая А1 имеет с треугольником АВС две общие точки: А и 1, следовательно, прямая А1 принадлежит плоскости, которая задана треугольником АВС.
На рисунке 42 проекции l 2 и l 1 прямой l проведены параллельно проекциям А2С2, А1С1 стороны АС треугольника АВС, заданного проекциями А2В2С2, А1В1С1. Прямая линия l принадлежит заданной плоскости АВС.
5.2 Построение в плоскости некоторой точки
Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости. Пусть даны плоскость a (a Ç b) и фронтальная проекция инциндентной ей точки А (рисунок 43). Требуется построить горизонтальную проекцию (А1) точки А.
Рисунок 43 Рисунок 44
Проведем через А2 фронтальную проекцию произвольной прямой, инциндентной плоскости a (a Ç b), отметим точки 12 и 22 ее пересечения с прямой a2 и b2. Найдя горизонтальные проекции точек 1 и 2, соединим их прямой линией и на ней в пересечении с линией связи, проведенной через А2, найдем точку А1.
Для проверки принадлежности точки плоскости используют вспомогательную прямую линию, принадлежащую плоскости. Пусть плоскость b задана проекциями А2В2, А1В1 и С2D2, C1D1 параллельных прямых линий (b (AВ // CD)) и точка Е проекциями Е2 и Е1 (рисунок 44). Проекции вспомогательной прямой проводят так, чтобы она проходила через одну из проекций точки. Например, горизонтальная проекция 1121 вспомогательной прямой (12) проходит через проекцию Е1. Построив фронтальную проекцию 1222 вспомогательной прямой, убеждаемся, что фронтальная проекция Е2 точки не принадлежит ей. Следовательно, точка Е не принадлежит заданной плоскости.
5.3 Прямые линии особого положения в плоскости
В плоскости, кроме прямых произвольного (общего) положения, можно построить и линии, занимающие особое положение по отношению к плоскостям проекций.
В любой плоскости можно построить линии параллельные плоскостям проекций. Их называют линиями уровня плоскости.
Горизонталь плоскости – это линия плоскости, параллельная горизонтальной плоскости проекций (рисунок 45). Построение горизонтали всегда начинают с ее фронтальной проекции. Так как горизонталь плоскости есть прямая параллельная плоскости p1, то фронтальная проекция этой прямой
h ^ А2А1. Для построения горизонтальной проекции горизонтали строим точку 11 и проводим прямую h 1 через точки А1 и 11.
Алгоритм решения:
h (А,1) Î a (АВС); h 2 ' А2; h 2 ^ А2А1; h 2 Ç В2С2 = 12;
1211, 1211 // А2А1; 1211 Ç В1С1 = 11; А1 Ç 11 = h 1.
Рисунок 45
В плоскости, заданной следами (рисунок 46), горизонталь плоскости задается принципиально таким же образом.
Рисунок 46
Чтобы построить произвольную горизонталь плоскости a, заданной на эпюре следами (рисунок 47), достаточно:
а) провести в произвольном месте чертежа (рисунок 47) прямую линию
h 2 // Х (фронтальная проекция горизонтали параллельна оси Х), найти фронтальный след горизонтали 1(12; 11) и через точку 11 провести h 1 // h oa (горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости);
б) провести в произвольном месте чертежа (рисунок 47) прямую
h 1 // h oa, найти фронтальный след горизонтали 1(11;12) и через точку 12
провести прямую h 2 // Х.
Фронталь плоскости – это линия плоскости, параллельная фронтальной плоскости проекций (рисунок 48). Построение начинают с горизонтальной плоскости.
Алгоритм решения:
f (F,1) Î b(DEF); f 1 ' F1; f 1 ^ F1F2; f1 Ç D1E1 = 11;
1112 // F1F2; 1112 Ç D2E2 = 12; F2 Ç 12 = f 2.
Рисунок 47 Рисунок 48
Используя горизонталь и фронталь плоскости, можно построить следы плоскости. Проведем в плоскости a (a Ç b) горизонталь h и фронталь f (рисунок 49). Найдя фронтальную проекцию фронтального следа горизонтали – точку 32 , проведем через нее f oa // f 2. Отметим точку Хa пересечения прямой f oa с осью Х, проведем через нее hoa // h 1.
Рисунок 49
У плоскостей, заданных следами, горизонтальная проекция фронтали параллельна оси Х (f 1 // Х), горизонтальный след фронтали принадлежит горизонтальному следу плоскости (h Ì h оb), и фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу плоскости f // f ob (рисунок 50). f Ì b,
b (h оb, f ob), f // p2.
Рисунок 50
Линиями наклона плоскости называют прямые плоскости, перпендикулярные к линиям уровня. Название их связано с тем, что эти линии образуют с соответствующими плоскостями проекций углы, по величине равные углам наклона плоскости к плоскостям проекций.
Из трех линий наибольшего наклона к плоскостям проекций отметим
линию наибольшего наклона к плоскости p1. Эту линию называют линией ската. Лин ия ската – прямая лежащая в плоскости и перпендикулярная ее горизонталям. Для проведения линии ската в плоскости a (a Ç b) предварительно должна быть определена горизонталь плоскости h (рисунок 51). После этого горизонтальная проекция линии ската проводится перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали (4131 ^ h 1), а фронтальная проекция определяется точками 32 и 42 пересечения ее с данными линиями плоскости.
На рисунке 52 через точку В проведена линия l наклона плоскости (АВС) к фронтальной плоскости проекций. Ее фронтальная проекция (В212) перпендикулярна к фронтальной проекции А2С2 прямой АС, являющейся фронталью, а горизонтальная проекция определена точкой 11 пересечения с прямой АС.
Рисунок 51 Рисунок 52
На рисунке 53 показано изображение линии наибольшего наклона (линии ската) плоскости, заданной следами. Горизонтальная проекция линии ската перпендикулярна горизонтальным проекциям горизонтали (l 1 ^ h 1 или
l 1 ^ hod),и ее следы принадлежат следам плоскости (Н Ì hod и F Ì ¦od).
Рисунок 53
Таким образом, чтобы построить линию наибольшего наклона плоскости, необходимо в этой плоскости сначала провести прямую уровня. Тогда на основании свойства проецирования прямого угла можно утверждать, что прямой угол, составленный линией наибольшего наклона с горизонталью (фронталью), на горизонтальную (фронтальную) плоскость проекций проецируется без искажения.
Через заданную точку плоскости можно провести лишь одну линию ската и одну лин
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 1875 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
