Практическое занятие № 6

Кручение

Кручение – деформация бруса, при которой поперечные сечения поворачиваются одно относительно другого вокруг продольной оси бруса. При кручении в поперечных сечениях бруса методом сечений обнаруживается только один внутренний силовой фактор – крутящий момент М_х. (другое обозначение – М _к).

Гипотеза плоских сечений справедлива только для брусьев круглого сечения. Крутящий момент в произвольном сечении бруса определяется методом сечения как алгебраическая сумма внешних активных и реактивных моментов, приложенных к отсеченной части:

(1)

где М_i – сосредоточенные моменты; т (х) – интенсивность распределенного момента.

Знак М _к не имеет физического смысла. Принято считать крутящий момент положительным, если для наблюдателя, находящегося со стороны внешней нормали к сечению, он направлен против часовой стрелки.

Получим дифференциальную зависимость между распределенной нагрузкой т (х) и крутящим моментом М _к:

.

(2)

Распределение крутящего момента по длине бруса изображается в виде эпюры. Выражение (2) используют при построении эпюр М _к(х).

Закон Гука при сдвиге записывается в виде

,

(3)

где G – модуль сдвига.

Полный угол закручивания i -го сечения относительно неподвижного сечения можно записать в виде

,

(4)

где – длина i -го участка; – угол закручивания ()-го сечения относительно неподвижного сечения; GJ_р – жесткость при кручении.

Касательные напряжения, действующие в нормальном сечении бруса

.

(5)

Геометрической характеристикой бруса круглого сечения является полярный момент сопротивления кручения:

.

(6)

Максимальные значения касательных напряжений, возникающих на контуре сечения, т. е. при , можно записать в виде

.

(7)

Для круглого сечения диаметром d

; .

(8)

Эпюры касательных напряжений в сечениях сплошного и полого круглых брусьев приведены на рисунке 1, а, б. Из эпюр видно, что материал, находящийся в районе оси бруса, испытывает незначительные напряжения, поэтому рациональная форма – полое круглое поперечное сечение (рисунок 1, б).

Рисунок 1 – Эпюры касательных напряжений

Условие прочности при кручении записывается в виде

или ,

(9)

где – максимальное значение касательных напряжений; – допустимое значение касательных напряжений.

Условие жесткости

.

(10)

При проектном расчете отсюда определяют , а затем вычисляют диаметр вала.

Пример

Ступенчатый стальной брус круглого поперечного сечения жестко заделан одним концом и нагружен, как показано на рисунке 2, а. Построить эпюры крутящих моментов, максимальных касательных напряжений и углов поворота поперечных сечений. Проверить прочность бруса при [τ_к] =60 МПа.

Решение

Эпюру крутящих моментов строим, начиная от свободного (левого) конца, что позволяет не определять реактивный момент в заделке. Проведя произвольное сечение а - а на участке АВ и составляя для оставленной части (рисунок 2, б) уравнение равновесия , получаем .

Рисунок 2

Согласно принятому правилу знаков, считаем момент отрицательным. Крутящий момент сохраняет постоянное значение во всех сечениях участка АВ и ВС. Для остальных участков находим крутящие моменты как алгебраические суммы внешних моментов, приложенных по одну сторону (в нашем случае – по левую) от сечения. Отсеченные части отдельно не изображаем. Эпюра М, дана на рисунке 2, в. Вообще следует заметить, что построение эпюры крутящих моментов совершенно аналогично построению эпюры продольных сил.

Для нахождения опасного сечения строим эпюру максимальных касательных напряжений, пользуясь формулой

, где .

Для участка АВ

Па.

Аналогично определяем в поперечных сечениях остальных участков бруса.

Ординаты эпюры (рисунок 2, г) откладываем в ту же сторону, что и соответствующие ординаты эпюры М_х Знак касательного напряжения при расчете на прочность никакой роли не играет, и принятое направление ординат эпюры условно.

Опасными оказались поперечные сечения участков ВС и CD. Таким образом, опасными оказались не те сечения, в которых крутящий момент максимален. Условие прочности выполняется. Очевидно, что материал бруса использован нерационально; даже в опасном сечении максимальное напряжение на 32% ниже допускаемого.

Эпюру углов поворота строим, начиная от защемленного конца. Ординаты этой эпюры в выбранном масштабе дают значения углов поворота соответствующих поперечных сечений бруса. Эпюра строится совершенно аналогично эпюре линейных перемещений. В пределах каждого из участков бруса эпюра линейна, поэтому достаточно вычислить углы поворота только для граничных сечений участков: угол поворота сечения К, равный углу закручивания участка KL:

рад,

где принято для стали МПа.

Угол поворота сечения D (относительно заделки) равен алгебраической сумме угла поворота сечения К и угла закручивания участка DK

рад.

Аналогично вычисляют углы поворота остальных граничных сечений. Эпюра φ представлена на рисунке 2, д.

Задачи

1. Брус круглого поперечного сечения, изображенный на рисунке 3 нагружен парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны к его оси. Определить из расчета на прочность диаметры поперечных сечений участков I, II и III, принимая [τ_к] = 60 МПа. При найденных значениях диаметров построить эпюру угловых перемещений поперечных сечений бруса.

Рисунок 3

2. Вал диаметром d = 60 мм имеет частоту вращения п = 600 об/мин. Определить из расчетов на прочность и жесткость допускаемую мощность, которую может передавать вал, если , .

Рисунок 4

3. Определить из расчетов на прочность и жесткость требуемые размеры поперечного сечения вала (рисунок 4). Сечение вала считать по всей длине круглым и постоянным. Принять , . Выбрать наиболее рациональную последовательность расположения шкивов на валу.

Вопросы

1. Что называется кручением? Какой внутренний силовой фактор возникает при кручении и как его определить?

2. Какие напряжения возникают в поперечном сечении бруса при кручении и как они определяются?

3. Как определяется полный угол закручивания?

4. Как записывается условие прочности при кручении?

5. Как записывается условие жесткости при кручении?