Обработке результатов моделирования и их интерпретации

При обработке результатов моделирования наиболее часто возникают следующие задачи:

1) определение эмпирического закона распределения СВ;

2) проверка однородности распределения;

3) сравнение средних значений и дисперсий переменных, полученных в результате моделирования.

Эти задачи с точки зрения статистики являются типовыми задачами на проверку статистических гипотез. Для их решения используются критерии Колмогорова, Пирсона, Смирнова, Стьюдента (t - критерий), Фишера (f - критерий).

8.10.1. Критерий Пирсона (критерий c²)

Схема применения критерия c² к оценке согласованности теоретического и статистического распределений сводится к следующему:

1. Определяется мера расхождения c² по формуле

_k

U = c² = å [(m_i - Np_i)²] / Np_i

ⁱ⁼¹

где U - мера расхождения, k - количество разрядов, m_i - количество значений СВ, попавших в заданный разряд, N - объем выборки, P_i - вероятность попадания СВ на заданный интервал.

2. Определяется число степеней свободы r:

r = k - s

где r - число степеней свободы, k - количество разрядов, s - число связей, накладываемых на исходное распределение.

Примерами таких связей могут быть:

_k

а) å `P_i = 1, если мы требуем только того, чтобы сумма частот была равна

ⁱ⁼¹ единице (это требование накладывается во всех случаях);

_k

б) å x_i`P_i = m_x, если мы подбираем теоретическое распределение с тем

ⁱ⁼¹ условием, чтобы совпадали теоретическое и статистическое средние значения;

_k

в) å (x_i - `m<sub>x</sub>)<sup>2`</sup>P_i = D_x, если мы требуем, кроме того, совпадения

ⁱ⁼¹ теоретической и статистической дисперсий.

3. По r и c² с помощью таблицы определяется вероятность того, что величина, имеющая распределение c² с r степенями свободы, превзойдет данное значение c². Если эта вероятность весьма мала, гипотеза отбрасывается как неправдоподобная. Если эта вероятность относительно велика, гипотезу можно признать не противоречащей опытным данным.

8.10.2. Критерий Колмогорова

В качестве меры расхождения между теоретическим и статистическим распределениями Колмогоров рассматривает максимальное значение модуля разности между статистической функцией распределения F*(x) и соответствующей теоретической функцией распределения:

D = max ï F*(x) - F(x) ï.

Основанием для выбора в качестве меры расхождения величины D является простота ее вычисления. Вместе с тем она имеет достаточно простой закон распределения. Колмогоров доказал, что, какова бы ни была функция распределения F(x) непрерывной СВ X, при неограниченном возрастании числа независимых наблюдений n вероятность неравенства

DÖn ³ l

стремится к пределу

¥

P(l) = 1 - å (-1)^k exp (-2k² l²)

k=- ¥

Схема применения критерия Колмогорова следующая: строятся статистическая функция распределения F*(x) и предполагаемая теоретическая функция распределения F(x), и определяется максимум D модуля разности между ними.

F(x)

1

F(x)

F*(x)

D

0 x

Далее, определяется величина

l = DÖn

и по таблице находится вероятность P(l). Это есть вероятность того, что (если величина X действительно распределена по закону F(x)) за счет чисто случайных причин максимальное расхождение между F*(x) иF (x) будет не меньше, чем фактически наблюденное. Если вероятность P(l) весьма мала, гипотезу следует отвергнуть как неправдоподобную; при сравнительно больших P(l) ее можно считать совместимой с опытными данными.

8.10.3. Критерий Смирнова

При оценке адекватности имитационной модели реальной системы S возникает необходимость проверки гипотезы H₀. Суть гипотезы заключается в том, что 2 выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности. Оценка делается на основе функции распределения.

Алгоритм:

1. Вычисляются F_э(U) и F_э(Z), т.е. вычисляются экспериментальные функции распределения для СВ n и x, принимающих значения U и Z.

2. Определяется D = max ï F_э(U) - F_э(Z)ï (15.1).

3. Определяется уровень значимости g.

4. Вычисляется D_g = Öln g (1/N₁ + 1/N₂)/2 (15.2)

где N₁ и N₂ - объемы выборок для F_э(U) и F_э(Z).

5. Сравниваются D_(15.1) и D_g(15.2). Если D_(15.1) > D_g(15.2), то гипотеза отвергается, если D_(15.1) < D_g(15.2), то гипотеза принимается.

8.10.4. Критерий Стьюдента

Сравнение средних значений двух независимых выборок, взятых из нормальных совокупностей с неизвестными, но равными дисперсиями (D[n] = = D[x]) сводится к проверке гипотезы H₀, которая состоит в том, что

D= `U - `Z» 0.

Алгоритм:

1. Вычисляется t

(`U - `Z)/Ö [(N₁ - 1)s_n² + (N₂ -1))s_x²]

t = (8.44)

Ö N₁ N₂(N₁ + N₂ - 2)/ (N₁ + N₂)

2. Определяется число степеней свободы K = N₁ + N₂ - 2.

3. Выбирается уровень значимости g.

4. По таблицам находят t_g.

5. Сравниваются ït ï и t_g. Если ït ï > t_g, то гипотеза принимается, если ït ï < t_g, то гипотеза отвергается.