Доказательства в курсе геометрии основной школы

Прежде чем говорить о доказательстве, продолжим характеристику основных форм мышления. Введем некоторые необходимые понятия.

Умозаключением называется процесс получения нового суждения-вывода из одного или нескольких данных суждений.1

Силлогизм – это умозаключение, в котором на основании двух суждений (большей посылки и меньшей посылки) выводится третье суждение (вывод, заключение).

Большая посылка – это некоторое общее суждение (аксиома, теорема, определение, допущение и т. д.); меньшая посылка – частное суждение.

Пример. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (общее суждение).

В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, ВС = В₁С₁ (частное суждение).

Треугольник АВС равен треугольнику А₁В₁С₁ (новое суждение-вывод) .

Теперь мы в состоянии принять рабочее понятие доказательства, достаточное для нужд школьного курса планиметрии.

Доказательство – логическое действие, в процессе которого истинность какого-либо математического предложения обосновывается с помощью других предложений, признанных истинными. Это действие обычно представляет собой цепочку силлогизмов.

Доказательство включает в себя три основных элемента:

Тезис, установить истинность которого – главная цель доказательства. Форма выражения тезиса – суждение.

Аргументы (основания) доказательства – положения, на которые опирается доказательство и из которых при условии их истинности необходимо следует истинность доказываемого тезиса. Форма выражения аргументов – суждения. Связывая аргументы, приходим к умозаключениям, которые строятся по определенным правилам.

Демонстрация – логический процесс взаимосвязи суждений, в результате которого осуществляется переход от аргументов к тезису.

К тезису, аргументам и демонстрации предъявляют определенные требования, нарушение которых приводит к ошибкам в доказательствах.

Требования к доказываемому предложению (тезису):

– тезис должен быть сформулирован ясно и определенно. Пример небрежной формулировки тезиса: большей дуге соответствует большая хорда (это справедливо для дуг одной и той же или равных окружностей и при условии, что большая дуга меньше полуокружности);

– тезис должен оставаться неизменным на протяжении всего доказательства.

Требования к аргументам:

– аргументы доказательства должны быть суждениями истинными и доказанными.

– аргументы должны быть такими суждениями, истинность которых доказана независимо от тезиса.

К типичным случаям нарушения первого требования относят:

а) использование в качестве аргумента доказательства такого положения, которое само нуждается в доказательстве;

б) использование в качестве аргумента доказательства ложного суждения;

в) использование в качестве основания суждения, с помощью которого можно доказать не только данный тезис, но и заведомо ложные утверждения.

В демонстрации, т.е. в переходе от аргументов к тезису, также возможны ошибки, обусловленные нарушением правила вывода, используемых в этом переходе. Различают ошибки двух видов:

– тезис не вытекает из аргументов, а произвольно присоединяется к ним;

– тезис выведен из аргументов путем ошибочного умозаключения.

Очевидно, что число таких ошибок уменьшилось, если бы правила вывода были предметом изучения в школе.