Общий объем учебной дисциплины

№	Форма обучения	Семестр	Общая трудоемкость	В том числе контактная работа с преподавателем	Сам. работа	Промеж. аттестация
В з.е.	В часах	Всего	Лекции	Сем-ры, ПЗ
	Очная

Распределение учебного времени по темам и видам учебных занятий

А) очная форма обучения

№	Наименование разделов, тем учебных занятий	Всего часов	Контактная работа с преподавателем	Из них с использованием интерактивных технологий	Сам. работа
Всего	Лекции	Сем-ры, ПЗ
	Введение. Общие вопросы моделирования	4,5
	Математические схемы моделирования систем
	Имитационное моделирование систем
	Методы определения характеристик моделируемых систем
	Программные и технические средства моделирования систем. Планирование машинных экспериментов с моделями систем
	Математические модели динамических систем. Основные определения
	Классификация поведения динамических систем
	Приближенные методы исследования динамических систем		2,5	0,5
	Гамильтоновы системы		2,5	0,5
	Хаос в динамических системах		2,5	0,5
	Фракталы: определения и свойства		3,5	0,5
	Численные методы исследования динамических систем		2,5	0,5
	Самоорганизация в нелинейных системах		4,5	0,5
	Системы со случайными шумами		4,5	0,5
	Измерение и прогнозирование		4,5	0,5
	Нечеткие модели		2,5	0,5
	Заключение	4,5	2,5	0,5
	Экзамен
	ИТОГО

Содержание дисциплины, структурированное по темам (разделам)

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

Введение. Общие вопросы моделирования

Предмет, метод и задачи теории моделирования. Роль и место моделирования в исследовании систем. Классификация моделей. Физические и абстрактные модели

Тема 1. Математические схемы моделирования систем

Основные подходы к построению ММ систем. Непрерывно детерминированные модели (Д-схемы). Дискретно-детерминированные модели (F-схемы). Элементы теории автоматов. Конечные автоматы. Классификация. F-автоматы Мили и Мура. Способы задания и формального описания. Графы автоматов Мили и Мура

Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Системы массового обслуживания (СМО, Q - схемы) и сети массового обслуживания. Методы теории массового обслуживания. Обобщённая структура СМО. Входящий поток СМО. Аналитические и имитационные модели СМО. Понятие массового обслуживания. Схема прибора СМО. Потоки событий: определение и классификация. Интенсивность (плотность) ОПС. Классификация Q – схем. Системы с потерями, с ожиданием и с ограниченной ёмкостью накопителя.

Тема 2. Имитационное моделирование систем

Процедура имитационного моделирования. Определение, основная идея, формальное описание и алгоритм метода имитационного моделирования. Модель системы со структурным принципом управления. Имитация функционирования системы. Упрощённая схема моделируемой системы. Временная диаграмма функционирования ВС.

Обобщённые алгоритмы имитационного моделирования. Алгоритм моделирования по принципу особых состояний. Алгоритм моделирования по принципу Dt.

Тема 3. Методы определения характеристик моделируемых систем.

Измеряемые характеристики моделируемых систем. Расчёт математического ожидания и дисперсии выходной характеристики. Расчёт среднего по времени значения выходной характеристики. Построение гистограммы для стационарной системы. Моделирование случайных воздействий. Процедура моделирования случайной величины x, равномерно распределённой в интервале (0,1). Процедура моделирования полной группа событий. Процедура моделирования испытаний, при которых искомый результат является сложным событием, зависящим от двух и более простых. Преобразование случайных величин. Метод обратной функции. Вычисление непрерывных случайных величин. Универсальный метод моделирования непрерывных случайных величин (метод исключений). Моделирование нормально распределённой случайной величины. Получение случайной величины с различными распределениями.

Моделирование систем с использованием типовых математических схем. Блочные иерархические модели процессов функционирования систем. Классификация. Моменты смены состояний модели. Реализация процессов с использованием Q-схем. Виды моделирующих алгоритмов Q-схемы и их основные особенности. Построение и реализация моделирующих алгоритмов Q-схем. Трехфазная Q-схема. Блок-схема детерминированного моделирующего алгоритма Q-схемы, построенного по принципу Dt.

Тема 4. Программные и технические средства моделирования систем. Планирование машинных экспериментов с моделями систем.

Моделирование систем и языки программирования: обоснование выбора среды и языка программирования. Сравнительная характеристика языков имитационного моделирования (ЯИМ) и общего назначения (ЯОН). Классификация языков моделирования.

Язык программирования GPSS. Общие сведения. Аппаратно - ориентированные блоки. Динамически - ориентированные блоки. Вычислительная категория. Статическая категория. Группирующая категория. Специальные типы блоков.

Методы планирования эксперимента на модели. основные понятия теории планирования эксперимента: факторы, реакции, уровни и состояния. Понятие факторного пространства. Понятие и геометрическое представление поверхности реакции. Основные требования, предъявляемыми к факторам. Адекватность, содержательность, простота модели планирования эксперимента. План эксперимента. Функции отклика. Матрица планирования, матрица плана эксперимента и вектор наблюдений. Порядок выбора локальной области факторного пространства. Полный факторный эксперимент: основные понятия и классификация.

Виды планирования машинных экспериментов с моделями систем. Стратегическое планирование машинных экспериментов с моделями систем. Методы систематической или случайной выборки, одного фактора, предельного анализа, наискорейшего спуска, равномерной сетки. Многокомпонентность функции реакции и стохастическая сходимость результатов планирования эксперимента. Этапы планирования эксперимента с моделью.

Тактическое планирование машинных экспериментов с моделями систем. Решаемые проблемы. Понятие дробного факторного эксперимента

Тема 5. Математические модели динамических систем.
Основные определения.

Определение динамической системы. Динамическая система и ее состояние. Моделирование динамической системы.

Динамическая система, описываемая конечной системой дифференциальных уравнений. Гармонические колебания. Движение в поле потенциальных сил. Нелинейный осциллятор. Консервативные и диссипативные системы. Маятник с затуханием. Нелинейный осциллятор Ван дер Поля. Странные аттракторы.

Дискретные эволюционные модели. Разностные эволюционные уравнения. Отображение Пуанкаре.

О решении начальных задач для дифференциальных эволюционных уравнений. Область определения фазовых траекторий. Автономные динамические системы. Типы траекторий автономных динамических систем. Предельные точки и предельные множества.

Литература: основная – [1-2]; дополнительная – [3-5].

Тема 6. Классификация поведения динамических систем.

Топологическая эквивалентность. Определение топологической эквивалентности. Зависимость от параметра.

Исследование качественного поведения систем. Примеры влияния управляющих параметров на динамику систем. Грубые динамические системы. Классификация особых точек. Поведение вблизи особых точек.

Устойчивость динамических систем. Устойчивость особых точек. Предельные циклы. Устойчивость по Ляпунову. Орбитальная устойчивость. Устойчивость и ляпуновские характеристические показатели. Устойчивость периодических решений.

Типичные бифуркации нелинейных динамических систем. Бифуркация смены устойчивости. Бифуркация "седло-узел". Складка. Сборка. Бифуркация рождения предельного цикла. Бифуркации удвоения периода и расщепления цикла.

Введение в элементарную теорию катастроф. Вводные замечания и примеры. Неморсовские особые точки. Росток и возмущение катастрофы. Классификация катастроф. Канонический вид эволюционного уравнения в неособой точке. Канонический вид эволюционного уравнения в морсовской точке. Лемма Морса. Канонический вид эволюционного уравнения в особой точке катастроф. Возмущения. Сепаратрисы на множестве параметров. Флаги катастроф. Фазовый переход как катастрофа. Точки катастроф и изменение климата.

Литература: основная – [1-2]; дополнительная – [3-5].

Тема 7. Приближенные методы исследования динамических систем.

Метод усреднения. Асимптотические методы малого параметра. Регулярные возмущения системы дифференциальных уравнений. Асимптотические решения сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений.

Литература: основная – [1-2]; дополнительная – [3-5].

Тема 8. Гамильтоновы системы.

Основы вариационного исчисления. Основные понятия. Уравнение Эйлера-Лагранжа. Задачи динамики. Движение в центральном поле. Циклические координаты. Законы сохранения и инвариантность гамильтониана. Особенности фазовых портретов гамильтоновых систем. Вполне интегрируемые системы. Скобки Пуассона и первые интегралы. Условно периодическое движение. Резонансные и нерезонансные торы в фазовом пространстве. О теории Колмогорова-Арнольда-Мозера. Инвариантные торы в негамильтоновых системах.

Литература: основная – [1-2]; дополнительная – [3-5].

Тема 9. Хаос в динамических системах.

Понятие хаоса. Хаос: мифология и математика. Хаотические колебания. Аттрактор Лоренца. Вывод уравнений. Анализ системы уравнений Лоренца. Реакция Белоусова-Жаботинского. Хаос и сечение Пуанкаре. Характерные признаки хаоса.

Дискретные отображения. Сдвиг Бернулли. Треугольное отображение. Математические характеристики хаоса. Хаотическая диффузия.

Сценарии перехода к хаосу. Переход к хаосу через удвоение периода. Переход к хаосу через перемежаемость. Сценарий Рюэля-Такенса.

Эргодичность и перемешивание. Среднее по времени и среднее по ансамблю. Эргодические системы. Перемешивающие системы. Диссипативные перемешивающие системы. Странные аттракторы. Фрактальные свойства странного аттрактора.

Ведущие параметры. Быстрое и медленное время. Параметры порядка и принцип подчинения.

Литература: основная – [1-2]; дополнительная – [3-5].

Тема 10. Фракталы: определения и свойства.

Понятие фрактала. Примеры и определения фрактала. Фрактальность пространственных форм. Динамические фракталы. Размерность Хаусдорфа-Безиковича. Фрактал как самоподобный объект. Фракталы Жюлиа и Мандельброта. Фрактальные кластеры. Фракталы как модели физических систем. Самоподобие как фундаментальное свойство природы.

Литература: основная – [1-2]; дополнительная – [3-5].

Тема 11. Численные методы исследования динамических систем.

Расчет отображений Пуанкаре. Численный анализ периодических решений. Вычисление спектра ляпуновских характеристических показателей. Расчет размерности аттрактора. Оценка топологической размерности. Фрактальная размерность аттрактора.

Литература: основная – [1-2]; дополнительная – [3-5].

Тема 12. Самоорганизация в нелинейных системах.

О двух тенденциях динамики — от беспорядка к порядку и обратно.

Проблема обратимости времени и ее связь с теорией нелинейных систем. Стрела времени и законы динамики. Квантово-механический и космологический парадоксы. Причина необратимости времени в статистической физике. Описание движения, несводимое к траекториям.

Самоорганизация в активных средах. Бистабильные среды. Возбудимые среды. Автоколебательные среды.

Нелинейные волны. Солитоны. Гиперболические и диспергирующие волны. Солитоны.

Самоорганизация в химической кинетике. Реакция Белоусова-Жаботинского. Математическая модель реакций химической кинетики. Брюсселятор. Анализ математической модели брюсселятора.

Самоорганизация в биологических системах. Возникновение жизни. Математические модели выживания. Модели роста и взаимодействия популяций. О модели морфогенеза.

Клеточные автоматы. Математическая модель клеточного автомата. Игра "Жизнь" B Фильтр движущихся целей. Клеточная модель физической реальности.

Обучающиеся системы. Модель Изинга. Нейронные сети. Инвариантные сети. Морфологический анализ изображений.

Литература: основная – [1-2]; дополнительная – [3-5].

Тема 13. Системы со случайными шумами.

Роль флуктуации. Случайные процессы. Марковские случайные процессы. Уравнение Смолуховского. Уравнение для плотности вероятности. Физические системы с шумами. Уравнение Ланжевена. Движение в потенциальном поле. Барометрическая формула. Нестационарные решения уравнения Фокера-Планка. Теория второго порядка. Сходимость в среднем квадратичном. Корреляционная функция случайного процесса. Непрерывность в среднем квадратичном. Дифференцируемость и интегрируемость в среднем квадратичном.

Литература: основная – [1-2]; дополнительная – [3-5].

Тема 14. Измерение и прогнозирование.

Теория измерительно-вычислительных систем. Несколько неформальных определений. Схема реального измерения. Схема идеального измерения. Интерпретация измерения. Линейная модель измерения. Интерпретация измерений с помощью линейных измерительно-вычислительных систем. Наблюдения с помощью датчика второго порядка. Методы синтеза ИВС как идеальных приборов. Схема измерений и ее математические модели. Несмещенный синтез выходного сигнала идеального. прибора Синтез идеального прибора с ограничением на энергию шума на его выходе Синтез выходного сигнала идеального прибора. Априорные данные. Надежность модели и надежность интерпретации. Надежность модели измерения. Надежность интерпретации.

Литература: основная – [1-2]; дополнительная – [3-5].

Тема 15. Нечёткие модели.

Возможность и вероятность. Математические основы теории возможностей. Нечеткие множества и события. Алгебра нечетких множеств. Мера возможности и мера необходимости. Принцип относительности в теории возможностей. Условная мера возможности. Нечеткие элементы. Нечеткое моделирование. Гауссовы нечеткие элементы. Определение гауссова нечеткого элемента. Маргинальное распределение Условное. распределение нечеткого гауссова элемента. Аппроксимация нечетких гауссовых элементов. Собственный базис нечеткого гауссова элемента. Нечеткая динамика. Нечеткие процессы. Марковские нечеткие процессы. Уравнение Смолуховского для нечетких процессов. Однородные нечеткие процессы с независимыми приращениями. Процессы с дискретным временем и конечным числом состояний. Волны возможности Нечеткие процессы и наблюдения. Распространение возможностей.

Литература: основная – [1-2]; дополнительная – [3-5].

ТЕМЫ СЕМИНАРСКИХ ЗАНЯТИЙ

Тема 1. Общие вопросы моделирования. Математические схемы моделирования систем. (4 часа)

Тема 2. Имитационное моделирование систем. Обобщённые алгоритмы имитационного моделирования. (4 часа)

Тема 3. Методы определения характеристик моделируемых систем. Моделирование нормально распределённой случайной величины. Получение случайной величины с различными распределениями. Моделирование систем с использованием типовых математических схем. (4 часа)

Тема 4. Программные и технические средства моделирования систем. Планирование машинных экспериментов с моделями систем. (2 часа)

Тема 5. Динамические системы, описываемые конечной системой дифференциальных уравнений. (4 часа)

Тема 6. Элементарная теория катастроф. (2 часа)

Тема 7. Асимптотические методы малого параметра. Асимптотические решения сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений. (2 часа)

Тема 8. Уравнение Эйлера-Лагранжа. Законы сохранения и инвариантность гамильтониана. Скобки Пуассона и первые интегралы. (2 часа)

Тема 9. Хаотические колебания. Аттрактор Лоренца. (2 часа)

Тема 10. Фрактальность пространственных форм. Фракталы как модели физических систем. (4 часа)

Тема 11. Отображения Пуанкаре. Вычисление спектра ляпуновских характеристических показателей. Оценка топологической и фрактальной размерности аттрактора. (2 часа)

Тема 12. Самоорганизация в активных средах. (4 часа)

Тема 13. Нестационарные решения уравнения Фокера-Планка. (4 часа)

Тема 14. Методы синтеза измерительно-вычислительных систем. (4 часа)

Тема 15. Марковские нечеткие процессы. Уравнение Смолуховского. (4 часа)