Б) Метод многоцелевого программирования

Решается задача последовательно по двум целевым функциям: максимизации объема и максимизации качества.

Получим результаты, согласно которым при располагаемых ресурсах максимально возможные значения объема выпуска и качества продукции соответственно равны 1340 и 1028. Одновременно такие значения получены быть не могут.

Примем, что необходимо обесп6ечить одновременно выполнение экономических показателей

Об = 1500

К = 1100

Очевидно, что при имеющихся ресурсах такие показатели не могут быть достигнуты. Данная задача является несбалансированной между заданными экономическими показателями и располагаемыми ресурсами.

Математическая модель:

Об = 7х₁ + 12х₂ + 13х₃= 1500

К = 9х₁ + 7х₂ + 10х₃= 1100

0,2х₁ + 0,3х₂ + 0,4х₃ < 35

0,5х₁ + 0,5х₂ + 0,3х₃ < 42

0,6х₁ + 0,8х₂ + 1,2х₃ < 100

х_j³0, j = 1,3.

Решения у данной задачи нет (имеет несовместное решение).

Кроме того, в рассматриваемой системе нет целевой функции.

Для получения совместного решения, а также назначения целевой функции введем дополнительные переменные у₁-у₈ и заменим систему в виде

Об = 7х₁ + 12х₂ + 13х₃ + у₁ = 1500

К = 9х₁ + 7х₂ + 10х₃ + у₂ = 1100

0,2х₁ + 0,3х₂ + 0,4х₃ + у₃ = 35+у₆

0,5х₁ + 0,5х₂ + 0,3х₃ + у₄ = 42+у₇

0,6х₁ + 0,8х₂ + 1,2х₃ + у₅ = 100+у₈

Смысл дополнительных переменных:

у₁, у₂ - показывают, насколько полученные значения объема выпуска и качества продукции отличаются от заданных;

у₃, у₄, у₅ - определяют неиспользованный ресурс;

у₆, у₇, у₈ - равны значениям дополнительного ресурса, которые необходимо иметь для решения поставленной задачи.

Эти переменные являются тем средством, которое дает возможность избежать получения несовместного решения.

Введенные дополнительные переменные позволяют формулировать различные многопараметрические функции.

Рассмотрим две из них:

1) Е₁=у₁ + у₂ ® min

обеспечивает решение, гарантирующее выполнение двух заданных экономических показателей: объема выпуска и качества продукции.

3) Е₂= у₆ + у₇ + у₈ ® min

позволяет получить решение, при котором дополнительные ресурсы будут минимальными.

Результаты решения:

Характеристики	Целевая функция
Е1	Е2
Е
Об
К
П1	45,8
П2	98,3
П3
у1
у2
у3
у4
у5
у6	3,6
у7	20,2
у8	6,1

Общая форма записи задачи может быть представлена как:

j=1, n i=1, m p=1,p

После введения дополнительных переменных эту систему запишем в виде:

j=1, n i=1, m p=1,p

Целевая функция может быть сформулирована следующим образом:

где m+p - число параметров, по которым ведется оптимизация;

a_i - коэффициент веса, определяющий уровень компромисса между оптимизируемыми параметрами;

y_i - дополнительные переменные, вводимые в целевую функцию;

b_i - нормирующий элемент, аналогичный в компромиссной целевой функции.

Если нет каких-либо ограничений, исключающих получение значения y_i = 0 (как это было в рассмотренных примерах), то величину b_i можно не вводить. Если же в решении y_i = 0 не может быть достигнуто, то следует вводить b_i.