Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
У множества иррациональных чисел мощность – континиум. Обозначается (С).
Основное правило комбинаторики (показано на примере)
Пусть имеется палочка, разделенная на 3 части. Первую ее часть можно раскрасить n способами, вторую – m, третью – k. Всего способов раскраски палочки – n*m*k.
Аналогично с множествами U = {a1,a2… an-1, an}
Пусть U = {a1, a2, a3} Выпишем множество всех подмножеств множества U.
P(U) = {0, a1, a2, a3, a1a2, a1a3, a2a3, a1a2a3}. Мощность множества U равна 3, а мощность P(U) равна 8.
Методом математической индукции доказывается, что при произвольной мощности n множества U, мощность множества P(U) равна 2n.
Операции над множествами
Объединение множеств (A U B). Элемент, принадлежащий полученному множеству, принадлежит множеству А ИЛИ множеству В.
Пересечение множеств (A n B). Элемент, принадлежащий полученному множеству, принадлежит множеству А И множеству В.
3. Дополнение множества А. (С = А) – не А. Все элементы, принадлежащие универсальному множеству, не принадлежат множеству А.
Свойства операций над множествами.
1. A U B = B U A – коммутативность. A n B = B n A
2. (A U B) U C = A U (B U C), A n (B n C) = (A n B) n C – ассоциативность.
3. (A U B) n C = (A n C) u (B n C), (AnB) U C = (A U C) n (B U C) – дистрибутивность.
4. Поглощение A U A = A, A n A = A.
5. Существование универсальных границ. А U 0 = A A n 0 = 0 A u U = U A n U = A
6. Двойное дополнение A = A
7. A U A = U A n A = 0
8. Законы двойственности или закон Де – Моргана (AUB) = A n B (AnB) = A U B
Теория булевых функций. Булева алгебра.
Определение. Множество M с двумя введенными бинарными операциями (& V), одной унарной операцией (*) и двумя выделенными элементами называется булевой алгеброй, если выполнены следующие свойства (аксиомы булевой алгебры). Названия операций пока не введены.
1. X & Y = Y&X, X V Y = Y V X – коммутативность.
2. (X & Y) & Z = X & (Y & Z), (X V Y) V Z = X V (Y V Z) – ассоциативность.
3. (X V Y) & Z = (X & Z) V (Y & Z), (X & Y) V (Y & Z) = (X V Z) & (Y & Z) – дистрибутивность.
4. Поглощение – X & X = X, X V X = X.
5. Свойства констант X & 0 = 0 X & I = X, где I – аналог универсального множества.
6. Инвальтивность (X*)* = X
7. Дополнимость X V X* = I, X & X* = 0.
8. Законы двойственности – (X & Y)* = X* V Y*, (X V Y)* = X* & Y
Булева алгебра всех подмножеств данного множества.
U = {a1, a2… an) [U] = N [P(U)] = 2n
Легко показать, что свойства операций над множествами совпадают со свойствами (аксиомами) булевой алгебры. То есть, множество P(U) с операциями объединения, пересечения и дополнения является булевой алгеброй.
Oбъединение эквивалентно V, пересечение - &, дополнение - *, пустое множество – 0, а универсальное – I.
Все аксиомы булевой алгебры справедливы в операциях над множествами.
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 313 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!