Индивидуальное задание № 21

Приведите общее уравнение линии второго порядка к каноническому виду и изобразите данную линию:

1. x ² – 6 xy + 9 y ² - 8 x + 4 y + 7 = 0.

2. 3 x ² + 4 xy - x + y + 3 = 0.

3. x ² – 4 xy + 4 y ² - 50 x - 75 = 0.

4. 6 xy + 8 y ² + x + 3 y + = 0.

5. 4 x ² – 4 xy + y ² - 2 x - 14 y + 7 = 0.

6. x ² – 2 xy + y ² - 8 x - 8 y - 16 = 0.

7. xy + 2 x + y + = 0.

8. x ² – 2 xy + y ² - 10 x - 6 y + 25 = 0.

9. 3 x ² + 10 xy + 3 y ² - 2 x - 14 y - 13 = 0.

10. 4 xy + 3 y ² + 16 x + 12 y - 36 = 0.

11. 9 x ² – 6 xy + y ² - 3 x - 9 y - 90 = 0.

12. x ² + xy + y ² + x + y = 0.

13. xy + 4 x + 4 y = 0.

14. 10 x ² + 6 xy + 2 y ² - 2 x + 4 y - 3 = 0.

15. 4 x ² – 4 xy + y ² - x - 2 = 0.

16. x ² + 6 xy + 9 y ² + 20 x + 10 y - = 0.

17. 3 x ² + 4 xy + 2 x + y + 1 = 0.

18. 5 x ² + 6 xy + 5 y ² - 16 x - 16 y - 16 = 0.

19. 4 xy + 3 y ² + 8 x + 16 y + 24 = 0.

20. 4 x ² – 4 xy + y ² - 4 x - 4 y + 7 = 0.

21. x ² – 2 xy + y ² - 6 x - 6 y - 6 = 0.

22. 4 xy + 3 y ² - 16 x + 8 y - 64 = 0.

23. x ² – 6 xy + 9 y ² - 20 x - 11 = 0.

24. 6 xy + 8 y ² + x + 3 y + = 0.

25. x ² – 4 xy + 4 y ² - 5 x + 6 = 0.

26. 5 x ² + 12 xy - 22 x - 12 y - 19 = 0.

27. 9 x ² – 6 xy + y ² - 4 x - 12 y - 8 = 0.

28. x ² – 6 xy + 9 y ² + 30 y - = 0.

29. x ² – 2 xy + y ² - 6 x - 6 y - 3 = 0.

30. 5 x ² + 8 xy + 5 y ² - 18 x - 18 y + 9 = 0.

Вариант 31

9 x ² – 6 xy + y ² + 20 x + 10 = 0.

Решение. I. Выполним поворот координатных векторов i и j системы координат О i j, в которой дано общее уравнение линии. Для этого найдем угол поворота a:

ctg2a = ; cos2a = ; sina =

; cosa = . Тогда i ^/ = (), j ^/ = (), а формулы поворота координатных векторов имеют вид:

Найдем уравнение данной линии в системе координат О i ^/ j ^/ (Ox^/y ^/), полученной из системы О i j (Оху) поворотом координатных векторов на угол a: Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим: .

II. Выполним перенос начала координат О системы О i ^/ j ^/ (Ox^/y ^/). Для этого выделим полный квадрат при у^/ и освободимся от свободного члена:

Положим Х = , Y = . Тогда формулы переноса начала имеют вид:

Точка О перейдет в точку О ^/(4; 3) (координаты точки О ^/ даны в системе координат О i ^/ j ^/ (Ox^/y ^/)).

В системе координат О ^/ i ^/ j ^/ (О ^/ ХY) уравнение данной линии таково:

Y ² + 2 X = 0, т.е. Y ² = - 2 X.

Следовательно, линия, данная в задаче, является параболой с осью О^/Х и вершиной О ^/.

Для построения параболы используем вспомогательные точки: М ₁(;1); М ₁^/(; -1); М ₂ (-2; 2); М ₂^/ (-2; -2).

Строим сначала систему координат О i j (Оху) (рис. 25), затем О i ^/ j ^/ (Ox^/y ^/) и, наконец, О ^/ i ^/ j ^/ (О ^/ ХY). В системе О ^/ i ^/ j ^/ строим параболу.

Рис. 25