Вычисление определенного интеграла при помощи численных методов вычисления

Метод прямоугольников

Для вычисления приближённого значения определённого интеграла отрезок [ a, b ] делят на n равных частей точками

a = x ₀< x ₁< x ₂<…< x _n= b,

так, что x _i+1- x _i=(b - a)/ n (i =0.. n -1). Длина каждого отрезка (шаг интегрирования) определяется как h =(b - a)/ n, а точки разбиения (узлы) x ₀= a, x ₁= x ₀+ h, … x _n= x _n-1+ h. В узлах вычисляются ординаты y ₀, y ₁, …, y _n, т.е. y _i= f (x _i). На частичных отрезках [ x _i; x _i+1] строят прямоугольники, высота которых равна значению f (x) в какой-либо точке каждого частичного отрезка (рис.11.1 и 11.2). Произведение f (x _i)× h определяет площадь частичного прямоугольника, а сумма таких произведений - площадь ступенчатой фигуры, предстающей собой приближённое значение интеграла.

Рис.11.1 Рис.11.2

Если f(x_i) вычисляется в левых концах отрезков [x_i; x_i+1], то получится формула левых прямоугольников:

.

Если f(x_i) вычисляется в правых концах отрезков [x_i; x_i+1], то получится формула правых прямоугольников:

.

Для вычисления интеграла I по методу средних прямоугольников функцию f (x _i) вычисляют в точках x_i +h/2 Î[x_i; x_i+1]. В результате получают формулу средних прямоугольников

.

Точность вычисления интеграла зависит от количества прямоугольников, на которые разбивают область интегрирования.

Метод трапеций

Для вычисления интеграла I по методу трапеций промежуток интегрирования [x_n; x_k] делят на n равных частей, через точки разбиения проводят прямые параллельно оси y до пересечения с графиком функции f(x) (рис.11.3). Потом соединяют точки пересечения, площади полученных n-криволинейных трапеций заменяют площадями прямоугольных трапеций с высотой h=(x_n-x₀)/n.

Приближенное значение интеграла равно сумме всех площадей частичных трапеций:

,

где y_i=f(x_i).

Рис.11.3

Вычисление I по методу трапеций более точное, чем по методу средних прямоугольников.

Формула Симпсона

Если на частичном отрезке длиной 2h функция f заменяется дугой параболы (рис.11.4), то можно получить формулу парабол или обобщенную формулу Симпсона:

.

Рис.11.4

Пример расчета определенного интеграла функции в Mathcad методом средних прямоугольников

Задание

1. Выполнить вычисления пределов в среде пакета Mathcad.

2. Выполнить вычисления значения производной и интеграла (вычислить в символьном виде).

3. Реализовать в Mathcad вычисления определенного интеграла с помощью любого численного метода.

Примечание. Задания выбрать из таблицы согласно номеру в журнале.

Содержание отчета

1) Тема, цель работы.

2) Индивидуальное задание, текст документа Mathcad с результатами вычислений.

3) Составленное задание, текст документа Mathcad с результатами вычислений по заданию 2.

4) Индивидуальное задание, текст документа Mathcad с результатами вычислений по заданию 3.

5) Индивидуальное задание, текст документа Mathcad с результатами вычислений по заданию 4.

6) Выводы по проделанной работе.