Раздел 5. Логика нечетких множеств и отношений

Основные характеристики нечётких множеств. Примеры нечётких множеств. Операции над нечёткими множествами. Нечёткие отношения. Операции над нечёткими отношениями. Применение нечёткой логики.

5. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

В связи с модернизацией российского образования, при сокращении учебной нагрузки, усилении личностного и деятельного компонентов изменяется и методика преподавания. Повысить эффективность образовательного процесса можно с помощью применения инновационных педагогических технологий. В основе новой парадигмы образования лежит идея гуманизации образования, которая выражается в целях, средствах и формах организации учебного процесса. В соответствии с новой парадигмой наукоёмкие технологии образования опираются на системно-деятельностный подход.

Для успешного и эффективного преподавания курса «Математическая логика» педагог должен владеть педагогическими технологиями, такими как технология модульного обучения, технология контекстного обучения, технология проблемного обучения.

С целью ориентации учащихся на предстоящую деятельность, актуализации знаний и осуществления водного контроля преподавателю целесообразно в начале курса провести фронтальную беседу с опросом базовых знаний в устной или письменной форме.

В процессе обучения курсу «Математическая логика» преподаватель должен регулярно информировать студентов о применимости получаемых знаний в других дисциплинах. Преподаватель должен стремиться направлять полученные знания студентов в практическое русло, для этого задания практикума должны быть увлекательны, интересны и актуальны.

Необходимо разработать тестовые задания после изучения всех модулей и мини-контроли после изучения каждой темы модуля. Использование мини-контролей позволяет следить за уровнем усвоения материала и, кроме того, стимулирует студентов на учебную деятельность.

В дисциплине «Математическая логика» предусматривается использование следующих образовательных технологий:

· дискуссионные процедуры;

· анализ конкретной ситуации;

· выполнение письменных работ;

· проблемные лекции;

· задания на самостоятельную интерпретацию аспектов профессиональной деятельности;

· организация самостоятельной деятельности;

· анализ и решение конкретных ситуаций;

· технология активизации творческой деятельности;

· алгоритмизация процессов принятия решения.

6. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ И УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

6.1. Контрольные вопросы и задания для самостоятельной работы студентов для подготовки к практическим занятиям

1) Записать символически высказывания, употребляя буквы для обозначения простых высказываний. Построить таблицы истинности для каждого высказывания.

2) Сколько строк содержит таблица истинности высказывания, состоящего из N компонентов?

3) Привести формулы к КНФ

4) Доказательство правильности рассуждений методом прямого вывода и методом «от противного».

5) Выразить описание задачи через фразы Хорна и провести доказательства, используя метод резолюций.

6) Определить логическую правильность умозаключений.

7)

x

y

z

u

x

x

z

y

u

Нормализовать релейно-контактную схему

8)

9) Построить матрицу предикатов и найти значения всевозможных предикатов с квантификациями.

10) Найти клаузальную нормальную (КлНФ) форму для формул логики предикатов

6.2. Темы рефератов и эссе для подготовки к практическим занятиям

1) Знания, информация, данные. Особенности знаний.

2) Продуктивные и логические модели представления знаний.

3) Дедукция и индукция.

4) Методы логического вывода

5) Отличия между логикой и исчислением.

6) Предикаты. Примеры предикатов и предметных областей на которых они определены.

7) Нормальные предикатные формы.

8) Исчисление предикатов.

9) Модели представления знаний. Семантические сети.

10) Модели представления знаний. Фреймовые модели.

11) И-ИЛИ графы.

12) История создания языка логического программирования «Пролог»

13) Применение логического программирования

14) Нечеткие высказывания. Примеры.

15) Нечеткие отношения. Примеры.

16) Этапы нечеткого вывода.

17) Задачи управления и нечеткая логика

18) Модальные логики.

19) Дедуктивно-аксиоматические системы.

20) Логические парадоксы.

6.3. Задания к контрольной работе

1. Привести формулы к КНФ.
Определить какой является эта формула?

1) F=A Ù (A ®B) Ù (A® ØB)

2) F= p ÚØq Ù r Û p

3) F=(p®q) Û Øp Ú q Ú r

4) F=(p ® Øq) Ù (s Ù q ® p)

5) F= p Ù r Û p Ú r.

6) F= ØA ÙØ(ØA ÙØB) ® B

7) F=Øp Û q Ù Ør

8) F= ((p ® q) Ù (q ® r) Ù p) ® (p ® r)

9) F= Ø (p ® Øq) Ù (s Ù p ® s)

10) F= (Øp Ú ((p Ù s)) ® (Øs Ù p))

2. С помощью алгоритма редукции проверить общезначимость следующих формул:

1) (A ® B) ® (B ® A)

2) ((A Ú B) ® ((ØA Ù B) Ú (B Ù A)))

3) (((A Ù B) ® С) Ù (A ®B)) ® (A ® C)

4) ((A ® B) Ù (B ® C) Ù A) ® (A ® C)

5) ((A Ù B) ® С) ® (A® (B ® C))

6) (ØA ® B) Ù(ØA ® ØB)) ® A

7) (A ® B) Ù (B ® C) ® (A ® C)

8) (ØA Ú ((A Ù B)) ® (ØC Ù A)

9) ((A ÙB) ® C)® (A® (B ® C)).

10) (C Ù (A ® C)) ® (C ® (A® ØB)

3. Выяснить, является ли логически правильными следующие рассуждения. В доказательстве использовать метод резолюций

1. Если Иванов или Петров пользовались на контрольной работе шпаргалкой, то Сидоров не пользовался. Если Петров не пользовался шпаргалкой, то пользовались Сидоров и Захаров. Сидоров пользовался шпаргалкой. Следовательно, Сидоров и Захаров пользовались на контрольной работе шпаргалкой.

2. Если Иванов или Петров пользовались на контрольной работе шпаргалкой, то Сидоров не пользовался. Если Петров не пользовался шпаргалкой, то пользовались Сидоров и Захаров. Сидоров пользовался шпаргалкой. Следовательно, Иванов и Петров пользовались на контрольной работе шпаргалкой.

3. Если Иванов или Петров пользовались на контрольной работе шпаргалкой, то Сидоров не пользовался. Если Петров не пользовался шпаргалкой, то пользовались Сидоров и Захаров. Сидоров пользовался шпаргалкой. Следовательно, Иванов и Сидоров пользовались на контрольной работе шпаргалкой.

4. Если Иванов или Петров пользовались на контрольной работе шпаргалкой, то Сидоров не пользовался. Если Петров не пользовался шпаргалкой, то пользовались Сидоров и Захаров. Сидоров пользовался шпаргалкой. Следовательно, только Сидоров пользовался на контрольной работе шпаргалкой.

5. Наша футбольная команда либо выигрывает матч, либо проигрывает, либо сводит его к ничьей. Если матч выигран или проигран, то он не перенесён. Команда матч не выиграла и не свела его к ничьей. Следовательно, матч не перенесён и проигран.

6. Наша футбольная команда либо выигрывает матч, либо проигрывает, либо сводит его к ничьей. Если матч выигран или проигран, то он не перенесён. Команда матч не выиграла и не свела его к ничьей. Следовательно, матч не перенесён и выигран.

7. Если Перт не встречал Ивана, то либо Иван не был на лекциях, либо Пётр лжёт. Если Иван был на лекциях, то Пётр встречал Ивана, и Сергей был в читальном зале после лекций. Если Сергей был в читальном зале после лекций, то либо Иван не был на лекциях, либо Пётр лжёт. Следовательно, Иван не был на лекциях

8. Если Джон не встречал этой ночью Смита, то либо Джон был убийцей, либо Джон лжет. Если Смит не был убийцей, то Джон не встречал Смита этой ночью, и убийство имело место после полуночи. Если же убийство имело место после полуночи, то либо Смит был убийцей, либо Джон лжет. Следовательно, Смит был убийцей.

9. Если 8 – составное число, то 16 – составное число. Если 16– составное число, то существуют простые числа. Если существуют простые числа, то число 16 – составное. Простые числа существуют. Следовательно, число 8 – составное.

10. Кривая является или эллипсом, или параболой, или гиперболой. Если кривая – эллипс или гипербола, то она центральна. Данная кривая не эллипс и не парабола. Следовательно, она центральная и является гиперболой.

4. Найти клаузальную нормальную (КлНФ) форму для формул логики предикатов

1) $ x ØP(x) Ú " x Q(x, y)

2) Ø" x R(x) Ú $ x Q(x, y)

3) " y $ x Q(x, y) Ù $ y R(x, y)

4) $y(R(y)Ù "yQ(x, y)) Ú " x R(x,y)

5) $ x "y Q(x,y) Þ $ x R(x,y)

6) $ x R(x) Þ $ y "x(Q(x, y) Þ R(x))

7) "x(R(x) Ú $xQ(x, y))Ù" y R(x, y)

8) R(x) Ù Q(x) Þ "yP(x, y) Ù $ x Q(x)

9) R(x)Þ "y(R(y) Ú $ x ØQ(x))

10) Ø$ x P(x,y) Þ $ y "xQ(x, y) Þ"xR(x))

5. Написать программу на языке Пролог моделирующую коммутационную (релейно-контактную) схему.

6. Определить сложность алгоритма по порядку величины.
Какому классу задач принадлежит такой алгоритм? Ответ обосновать.

1) O(N*log(N)+N³).

2) O(N+ log(N)).

3) O(log(N)+N!).

4) O(log(N)+N!).

5) O(2ⁿ+N).

6) O(5+N³).

7) O(2ⁿ+N⁵).

8) O(N*log(N)+N!).

9) O(log(N)+Nⁿ).

10) O(N*10+N¹⁰).

7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Основная литература

1. Аляев Ю.А. Тюрин С.Ф. Дискретная математика и математическая логика. М.: Финансы и статистика, 2006. 368 с.

2. Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / В. И. Игошин. — 2-е изд., стер. М.: Издательский центр «Академия», 2008. 448 с.

3. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. Изд. 3-е, стереотипное. М.: КомКнига, 2006. 240 с. (Классический универси-тетский учебник.)

4.Успенский В. А., Верещагин Н. К., Плиско В. Е. Вводный курс математической логики. — 2-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 128 с.

5.Лавров И. А.,Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М.: Физматлит, 2004. 256с.

Дополнительная литература

1. Акимов О.Е. Дискретная математика: логика, группы, графы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. 352с.

2. Стерлинг Л., Шапиро Э. Искусство программирования на языке Пролог: Пер. с англ. М.: Мир, 1990. 235 с.

3. Грей П. Логика, алгебра и базы данных: Пер. с англ. под ред. Г.В. Орловского. М.:Машиностроение,1989. 368с.

4. Мощенский В.А. Лекции по математической логике. Минск, Изд-во Белорус. ун-та,1973.

5. Тей А., Грибомон П., Луи Ж.и др. Логический подход к искусственному интеллекту: от классической логики к логическому программированию: Пер. с франц./ М.: Мир,1990. 432 с.

6. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи: Пер. с англ. М.: Мир, 1982.416с.

7. Стобо Д.Ж. Язык программирования Пролог: Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1993. 368с.

8. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А.Математическая логика: Учеб. пособие для вузов. М., Наука, 1987. 336 с.

9. Клини С.К. Математическая логика. М., Мир, 1973. 480 с.

10. Гуц А.К. Математическая логика и теория алгоритмов. Омск: Издательство Наследие. Диалог-Сибирь, 2003. 108 с.

11. Л. М. Лихтарников, Т.Г. Сукачева Математическая Логика. Курс лекций. 3адачник-практикум и решения. Серия Учебники для вузов. Санкт-Петербург, Издательство "Лань", 1999. 288 с.

12. Никольская И.Л. Математическая логика. М.: Высшая школа, 1981, 127с.

13. Новиков П.С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973. 400 с.

14. В.Ф. Пономарев Математическая логика. часть 1. Логика высказы-ваний. Логика предикатов. Учебное пособие Калининград: КГТУ, 2001. 140 с.

15. Успенский В.А., Семенов А.Л. Теория алгоритмов: основные открытия и приложения. - М., Наука, 1987. 288 с.

16. Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. М., Наука, 1972. 288 с.

8. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Лекционный материал должен изучаться в специализированной аудитории, оснащенной:

• современным компьютером;

• проектором с видеотерминала персонального компьютера на настенным экраном.

Практические работы должны выполняться в специализированных классах, оснащенных современными персональными компьютерами и программным обеспечением в соответствии с тематикой изучаемого материала; число рабочих мест в классах должно быть таким, чтобы обеспечивалась индивидуальная работа студента на отдельном персональном компьютере;

Рабочая программа дисциплины

«Математическая логика»

Подписано в печать _________. Формат 60´84/16. Бумага для множ. аппаратов.

Печать плоская. Усл. печ. л. ___. Уч.-изд. л.____. Тираж ____ экз. Заказ № ____.

ФГАОУ ВПО «Российский государственный профессионально-педагогический университет». Екатеринбург, ул. Машиностроителей, 11.

Ризограф ФГАОУ ВПО РГППУ. Екатеринбург, ул. Машиностроителей, 11.