Распределение Больцмана

Воспользуемся полученной нами ранее барометрической формулой:

(9.16)

и получим зависимость концентрации молекул от высоты. Поскольку

, и , то

(9.17)

Если изобразить графики зависимостей в соответствии с (9.17) при различных температурах, то легко видеть, что с понижением температуры основная часть молекул располагается ближе к поверхности Земли. При абсолютном нуле все молекулы должны были бы расположиться на поверхности. Наоборот, при высоких температурах молекулы располагаются почти равномерно.

Конкретное распределение молекул устанавливается в результате действия противоположных факторов: сила притяжения концентрирует молекулы вблизи поверхности, а тепловое движение разбрасывает по всем высотам.

В числителе показателя степени экспоненты (9.17) стоит фактически энергия молекулы в поле силы тяжестиε_р. Поэтому (9.17) можно записать в виде

(9.18)

Больцман доказал, что распределение (9.18) справедливо для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в тепловом движении в любом потенциальном поле. Поэтому распределение (18) называют распределением Больцмана. Это распределение можно представить в виде

(9.19)

где – количество молекул, попадающих в пределы объема , расположенного в точке с координатами x, y, z.

Это распределение можно объединить с распределением Максвелла, выделив из молекулы, компоненты скорости которых лежат в пределах от до ,от до , от до :

(9.20)

Очень часто энергия частиц может только дискретные значения из ряда: . В этом случае распределение Больцмана дает количество частиц , которые находятся в состоянии с энергией и имеет вид:

(9.21)

где – коэффициент пропорциональности, который определяется из условия нормировки. В этом случае условие нормировки сводится к требованию того, чтобы сумма частиц во всех состояниях была равна общему количеству частиц в системе:

(9.22)

Найдем значение нолрмирующего множителя, подставив (9.21) в (9.22):

(9.23)

Таким образом, окончательно распределение Больцмана для систем с дискретными разрешенными значениями энергии можно записать в виде:

(9.24)