Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей. 2 страница

,

а область принятия гипотезы – неравенством

.

Наблюдаемое значение критерия Бартлетта будем обозначать через .

Правило проверки нулевой гипотезы будет следующим. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий нормальных совокупностей, надо вычислить наблюдаемое значение критерия Бартлетта . Затем, по таблице критических точек распределения найти критическую точку. Если окажется, что

,

то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае она отвергается.

В учебнике приведены конструктивные замечания по критерию Бартлетта. Приведем их.

Замечание 2. Константа , входящая в критерий Бартлетта, всегда больше единицы. Это обстоятельство следует учитывать при расчетах.

Замечание 3. Критерий Бартлетта весьма чувствителен к отклонениям распределений от нормального, поэтому к выводам, полученным по этому критерию, надо относиться с осторожностью(либо достоверно проверять, что совокупности распределены приближенно нормально).

Пример 5. Даны три независимые выборки из нормальных генеральных совокупностей:

,

,

При уровне значимости проверить гипотезу об однородности дисперсий (критическая область односторонняя).

Решение. Опуская подробности расчетов, сведем предварительные результаты табл. 1

Табл.1. Расчетная таблица к примеру 5

№№Выборки і	Объем вы- борки	Число степеней свободы	Исправлен-ная дис- персия
			1,428571		0,154902	1,084314	0,142857
			0,715636	7,156364	-0,14531	-1,45308	0,1
			1,2	9,6	0,079181	0,63345	0,125
∑		k =25		26,75636		0,264688	0,367857

Используя расчетную табл. 1, найдем значение средней арифметической исправленных дисперсий, взвешенной по числам степеней свободы:

Вычислим

и из таблице приложения 5, по уровню значимости и числу степеней свободы

найдем критическую точку

.

Т.к.

и, учитывая, что , получим

.

Значит нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Иными словами, исправленные выборочные дисперсии различаются незначимо.

Замечание 4. Если требуется оценить генеральную дисперсию, то при условии однородности дисперсий целесообразно принять в качестве ее оценки среднюю арифметическую исправленных дисперсий, взвешенную по числам степеней свободы, т.е.

.

Судя по примеру 5, в качестве оценки генеральной дисперсии целесообразно принять 1,070255.

4.Рассмотрим задачу сравнения нескольких (более двух) дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам одинакового объема.

Итак, пусть генеральные совокупности Х ₁ ,Х ₂... ,Х _l распределены нормально. Из этих совокупностей извлечено l независимых выборок одинакового объема п и по ним найдены исправленные выборочные дисперсии все с одинаковым числом степеней свободы . Необходимо по исправленным дисперсиям при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой:

.

Иными словами, требуется установить, значимо или незначимо различаются исправленные выборочные дисперсии.

Замечание 5. Рассматриваемую задачу можно решать, используя критерий Фишера – Снедекора, т.е. сравнивая наибольшую и наименьшую дисперсии. Если окажется, что различие между ними незначимо, то подавно незначимо и различие между остальными дисперсиями. Недостаток этого метода состоит в том, что информация, которую содержат остальные дисперсии, кроме наименьшей и наибольшей, не учитывается. Можно также применить критерий Бартлетта. Однако будет известно лишь приближенное распределение этого критерия. Поэтому предпочтительнее использовать критерий Кочрена, распределение которого найдено точно.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем критерий Кочрена – отношение максимальной исправленной дисперсии к сумме всех исправленных дисперсий:

.

Распределение этой случайной величины зависит только от числа степеней свободы и количества выборок l.

Критическую область строят правостороннюю, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости:

.

Критическую точку находят по таблице приложения 8, и тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством , а область принятия нулевой гипотезы – неравенством .

Сформулируем правило проверки нулевой гипотезы. Чтобы при заданном уровне значимости α проверить гипотезу об однородности дисперсий нормально распределенных совокупностей, надо вычислить наблюдаемое значение критерия и по таблице найти критическую точку. Если , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном же случае ее отвергают.

11.3. Проверка статистических гипотез о равенстве средних

«Чем занимаются математики, как не

порядком и отношением?»

Аристотель

«…Чистый математик, как музыкант,-

свободный творец собственного мира

упорядоченной красоты».

Б. Рассел

Предыдущий параграф был посвящен задачам проверки гипотез о равенстве дисперсий. В настоящем же параграфе мы научимся проверять гипотезы о равенстве средних. Будут рассмотрены следующие вопросы:

1.Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны. Случай независимых выборок.

2.Сравнение двух произвольно распределенных генеральных совокупностей, Случай больших независимых выборок.

3.Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы. Случай малых независимых выборок.

4. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности.

5.Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями. Случай зависимых выборок.

1.На практике часто возникает необходимость сравнить средние статистических совокупностей. Рассмотрим вопрос сравнения средних двух нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны. Нами будет рассмотрен случай независимых выборок.

Итак, пусть генеральные совокупности Х и У распределены нормально и их дисперсии известны(например, из предшествующего опыта или найдены теоретически). По независимым выборкам объема и , соответственно, извлеченным из этих совокупностей, рассчитаны выборочные средние и . Необходимо по выборочным средним при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные средние (математические ожидания) рассматриваемых совокупностей равны между собой, т.е.

Т.к. выборочные средние являются несмещенными оценками генеральных средних (т.е. , ), то нулевую гипотезу можно записать так:

.

Т.о. требуется проверить, что математические ожидания выборочных средних равны между собой. Такая задача ставится потому, что, как правило, выборочные средние оказываются различными. Возникает вопрос: значимо или незначимо различаются они?

Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, т.е. генеральные средние одинаковы, то различие выборочных средних незначимо и объясняется случайными причинами (например, случайным отбором элементов выборки). Так, если физические величины имеют одинаковые истинные размеры, а средние арифметические результатов измерений этих величин различны, то это различие незначимое. Если же нулевая гипотеза отвергнута, т.е. генеральные средние неодинаковы, то различие выборочных средних значимо и не может быть объяснено случайными причинами, а объясняется тем, что сами генеральные средние (математические ожидания) различны. Например, если среднее арифметическое результатов измерений первой физической величины значимо отличается от среднего арифметического результатов измерений второй физической величины, то это означает, что истинные размеры (математические ожидания) этих величин различны.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину

.

Критерий Z –нормированная нормальная случайная величина. Действительно, величина распределена нормально, так как является линейной комбинацией нормально распределенных величин и . Сами эти величины распределены нормально как выборочные средние, найденные по выборкам, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей. Z – нормированная величина, т.к. при справедливости нулевой гипотезы , а поскольку выборки независимы, то .

Как и ранее, критическая область строится в зависимости от конкурирующей гипотезы.

Случай первый: нулевая гипотеза

,

конкурирующая гипотеза

.

В этом случае строят двустороннюю критическую область. При этом требуют, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна заданному уровню значимости .

Наибольшая мощность критерия достигается тогда, когда левая и правая критические точки выбраны так, что вероятность попадания критерия в каждый из двух интервалов критической области равна α/2:

,

Т.к. Z – нормированная нормальная величина, а распределение такой величины симметрично относительно нуля, то критические точки величины симметричны относительно нуля. Обозначим правую границу двусторонней критической области через , тогда левая граница равна . Поэтому достаточно найти правую границу, чтобы найти саму двустороннюю критическую область , и область принятия нулевой гипотезы .

Интегральная функция Лапласа определяет вероятность попадания нормированной нормальной случайной величины в интервал :

В силу симметрии этого распределения относительно нуля, имеем

Т.е.

,

откуда получаем

Теперь, обозначив через Z_н наблюдаемое значение критерия (т.е. вычисленное по данным выборки), сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

Для того, чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия

.

Затем по таблице интегралов функции Лапласа найти критическую точку из условия

Если окажется, что

то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном же случае ее нужно отвергнуть.

Если использовать статистические функции из Microsoft Excel, то для нахождения надо вычислять

.

В Maple 6 для нахождения вычисляют

stats[statevalf,icdf,normal[0,1]]((1-α)/2+0.5).

Пример 1. По двум независимым выборкам, объемы которых соответственно равны и , извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние и . Генеральные дисперсии известны и . Требуется при уровне значимости проверить нулевую гипотезу , при конкурирующей гипотезе .

Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид , поэтому критическая область – двусторонняя. Найдем правую критическую точку из условия

По таблице интегральной функции Лапласа приложения 2 . Если использовать Microsoft Excel, то

= НОРМСТОБР((1-0,01)/2+0,5)=2,5758.

При использовании Maple 6, имеем

= stats[statevalf,icdf,normal[0,1]]((1-),01/2+0,5)=2.5758.

Т.к. , то нулевая гипотеза отвергается. Иными словами, выборочные средние различаются.

В качестве второго случая рассмотрим нулевую гипотезу и конкурирующую гипотезу . На практике такой случай имеет место, если профессиональные соображения позволяют предположить, что генеральная средняя одной совокупности больше генеральной средней другой. Например, пусть генеральная средняя характеризует объем выпуска продукции. Если технологический процесс был усовершенствован, то естественно допустить, что это приведет к увеличению объема выпуска продукции.

В этом случае строят правостороннюю критическую область. Причем, исходят из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область (в предположении справедливости нулевой гипотезы) была равна заданному уровню значимости:

Критическая точка находится следующим образом. Воспользовавшись симметрией функции распределения стандартной нормальной случайной величины относительно нуля, получаем

Т.о.

откуда имеем

Из последнего соотношения по таблицам интегральной функции Лапласа или программными средствами находят точку .

Определим правило проверки нулевой гипотезы. Для того чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями при конкурирующей гипотезе

, надо вычислить наблюдавшееся значение критерия

и по таблице интегральной функции Лапласа найти критическую точку из условия

Если окажется, что , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном же случае ее нужно отвергнуть.

Пример 2. По двум независимым выборкам, объемы которых соответственно равны и , извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние и . Генеральные дисперсии известны: и . При уровне значимости проверить нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе .

Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия:

Найдем критическую точку из условия

.

По таблице интервальной функции Лапласа (см. приложение 2) . Т.к. , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, выборочные средние различаются незначимо.

Третий случай: нулевая гипотеза , конкурирующая гипотеза . Этот случай подразумевает построение левосторонней критической области. При этом нужно исходить из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости:

Т.к. критерий распределен симметрично относительно нуля, то .

Правило проверки нулевой гипотезы следующим. При конкурирующей гипотезе надо вычислить . Из таблицы интегральной функции Лапласа найти «вспомогательную точку» по равенству и положить . Если окажется, что , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном же случае ее нужно отвергнуть.

Пример 3. По двум независимым выборкам, объемы которых, соответственно равны и , извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние и . Генеральные дисперсии известны и . При уровне значимости проверить нулевую гипотезу , при конкурирующей гипотезе .

Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия:

.

Определи «вспомогательную точку» из условия

По таблице интегральной функции Лапласа приложения 2 . Т.о., В силу того, что , то нулевую гипотезу следует отвергнуть. Другими словами, выборочная средняя значимо меньше выборочной средней .