Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей. 1 страница

Критерій Фішера про рівність (нерівність) двох дисперсій про взаємну незалежність.

Часто на практике возникает задача сравнения дисперсий. Это связано с потребностью сопоставлять точность приборов, инструментов, самих методов измерений и т. д. Естественно, предпочтительнее тот инструмент, который обеспечивает наименьшее рассеивание результатов измерений, т.е. наименьшую дисперсию.

Пусть генеральные совокупности X и Y распределены нормально. Из совокупностей извлечены выборки объема и , соответственно. По ним найдены исправленные выборочные дисперсии и . Требуется по исправленным дисперсиям при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу. Она состоит в том, что генеральные дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой:

.

В силу того, что исправленные дисперсии являются несмещенными оценками генеральных дисперсий, т.е.

,

нулевую гипотезу можно записать следующим образом:

.

Т.о. требуется проверить, что математические ожидания исправленных выборочных дисперсий равны между собой. Обычно исправленные дисперсии оказываются различными. Значимо (существенно) или незначимо различаются исправленные дисперсии?

Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, т. е. генеральные дисперсии одинаковы, то различие исправленных дисперсий незначимо и объясняется случайными причинами, в частности случайным отбором объектов выборки. Например, если различие исправленных выборочных дисперсий результатов измерений, выполненных двумя приборами, оказалось незначимым, то приборы имеют одинаковую точность. Если же нулевая гипотеза отвергнута, т.е. генеральные дисперсии неодинаковы, то различие исправленных дисперсий значимо и не может быть объяснено случайными причинами.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы о равенстве генеральных дисперсий принимают отношение большей исправительной дисперсии к меньшей, т.е. случайную величину

.

Величина F при условии справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Фишера-Снедекора со степенями свободы и , где – объем выборки, по которой вычислена большая исправленная дисперсия, – объем выборки, по которой найдена меньшая дисперсия. Распределение Фишера-Снедекора зависит только от чисел степеней свободы и не зависит от других параметров. Этот критерий называют критерием Фишера-Снедекора. Для него имеются специальные таблицы (см. приложение 7).Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

В качестве первого случая рассмотрим нулевую гипотезу и конкурирующую гипотезу . Построим правостороннюю критическую область. Потребуем, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости , т.е.

.

Критическая точка находится по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора. Обозначим отношение большей из наблюдаемых исправленных дисперсий к меньшей, как . Сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей при конкурирующей гипотезе , надо вычислить отношение большой исправленной дисперсии к меньшей, т.е.

.

По таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора находят . Если , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном же случае ее отвергают. Если использовать статистические функции из Microsoft Excel, то для нахождения надо вычислять FРАСПОБР .

Пример1. По двум независимым выборкам с объемами и , которые извлечены из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии и . При уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе .

Решение. Найдем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей:

.

Далее используем таблицу критических точек распределения F Фишера-Снедекора. По заданному уровню значимости и числам степеней свободы и находим критическую точку . Т.к. , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий. Использование Microsoft Excel приводит к аналогичным результатам:

=FPАСПОБР ;

В качестве второго случая рассмотрим нулевую гипотезу и конкурирующую гипотезу . В этом случае надо строить двустороннюю критическую область. Можно доказать, что наибольшая мощность (вероятность попадания критерия в критическую область при справедливости конкурирующей гипотезы) достигается тогда, когда вероятность попадания критерия в каждый из двух интервалов критической области равна . Обозначим через левую границу критической области и через F ₂ – правую. Тогда должны выполняться соотношения

, .

Правую критическую точку находят по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора.

Оказывается, что левую критическую точку можно и не отыскивать. Достаточно найти правую критическую точку при уровне значимости, вдвое меньше заданного. Тогда не только вероятность попадания критерия в «правую часть» критической области (т.е. правее ) равна , но и вероятность попадания этого критерия в «левую часть» критической области (т.е. левее F ₁) также равна /2. Т.к. эти события несовместны, то вероятность попадания рассматриваемого критерия во всю двустороннюю критическую область будет равна .

Сформулируем правило проверки нулевой гипотезы о равенстве генеральных дисперсий нормально распределенных совокупностей при конкурирующей гипотеза . Для этого нужно вычислить отношение большой исправленной дисперсии к меньшей, т.е. . По таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора по уровню значимости (вдвое меньшем заданного) и числам степеней свободы и ( – число степеней свободы большей дисперсии) найти критическую точку . Если , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном же случае ее отвергают.

Пример 2. По двум независимым выборкам с объемами и , которые извлечены из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии и . Требуется при уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе .

Решение найдем отношением большей исправленной дисперсии к меньшей:

.

Теперь используем таблиц критических точек распределения F Фишера-Снедекора. По заданному уровню значимости /2=0,1/2=0,05 и числами степеней свободы и находим критическую точку . Использование Microsoft Excel приводит к аналогичным результатам:

FPАСПОБР .

Т.к. , то нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий отвергаем. Другими словами, выборочные исправленные дисперсии различаются значимо. Например, если бы рассматриваемые дисперсии характеризовали точность двух методов измерений, то следует предпочесть тот метод, который имеет меньшую дисперсию (судя по нашему примеру 0,3).

Задача сравнения исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности.

Пусть генеральная совокупность распределена нормально, причем генеральная дисперсия хотя и неизвестна, но имеются основания предполагать, что она равна гипотетическому (предполагаемому) значению. На практике устанавливается на основании предшествующего опыта или теоретически. Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема п и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия с степенями свободы. Требуется по исправленной дисперсии при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральная дисперсия рассматриваемой совокупности равна гипотетическому значению . Т.к. является несмещенной оценкой генеральной дисперсии, имеем нулевую гипотезу

.

Итак, требуется проверить, что математическое ожидание исправленной дисперсии равно гипотетическому значению генеральной дисперсии. Другими словами, надо установить, значимо или незначимо различаются исправленная выборочная и гипотетическая генеральная дисперсии.

На практике рассматриваемая гипотеза проверяется, если нужно проверить точность приборов, инструментов, станков, методов исследования и устойчивость технологических процессов. Например, известна допустимая характеристика рассеяния контролируемого размера деталей, изготавливаемых станков-автоматов, равная . Если найденная по выборке характеристика окажется значимо больше , то станок нуждается в наладке.

Критерием проверки нулевой гипотезы является случайная величина

.

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Рассмотрим первый случай. Пусть нулевая гипотеза . Конкурирующая гипотеза . В этом случае строят правостороннюю критическую область и требуют, чтобы выполнялось соотношение

.

Сформулируем правило проверки нулевой гипотезы. Надо вычислить наблюдаемое значение критерия . Затем по таблице критических точек распределения (см. приложение 5), по заданному уровню значимости и числу степеней свободы , найти критическую точку . В Microsoft Excel критическая точка находится следующим образом =ХИ2ОБР.

Если , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

Пример 3. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия . Требуется при уровне значимости проверить нулевую гипотезу , приняв в качестве конкурирующей гипотезы .

Решение. Найдем наблюдавшееся значение критерия:

.

Согласно конкурирующей гипотезе, критическая область является правосторонней. Из таблицы приложения 5 по уровню значимости и числу степеней свободы находим критическую точку . В Microsoft Excel получаем =ХИ2ОБР(14;0,01)=29,141. Т.к. , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Другими словами, различие между исправленной дисперсией 14,9 и гипотетической генеральной дисперсией 14,1 – незначимое.

Рассмотрим теперь второй основной случай проверки гипотез. Нулевая гипотеза . Конкурирующая гипотеза . В этом случае строят двустороннюю критическую область. При этом исходят из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости . Критические точки – левую и правую границы критической области – находят, требуя, чтобы вероятность попадания критерия в каждый из двух интервалов критической области была равна /2:

, .

В таблице критических точек распределения указаны лишь «правые» критические точки, поэтому возникает кажущееся затруднение в отыскании «левой» критической точки. Это затруднение легко преодолеть, если принять во внимание, что события и противоположны и, следовательно,

Отсюда

.

Т.е. левую критическую точку можно искать как правую (и значит, ее можно найти по таблице, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в интервал, расположенный правее этой точки, была равна .

Сформулируем правило проверки нулевой гипотезы. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве неизвестной генеральной дисперсии нормальной совокупности гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия и по таблице найти левую критическую точку и правую критическую точку . Если окажется, что

,

то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если же окажется, что или , то нулевую гипотезу отвергают.

Пример 4. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема п= 16 по ней найдена исправленная выборочная дисперсия . Требуется при уровне значимости проверить нулевую гипотезу , приняв в качестве конкурирующей .

Решение. Найдем наблюдавшееся значение критерия:

Судя по конкурирующей гипотезе, критическая область будет двусторонней. По таблицам приложения 5 находим критические точки:

;

= .

Т.к. наблюдавшееся значение критерия принадлежит области принятия гипотез:

,

то нет оснований ее отвергать. Другими словами, исправленная выборочная дисперсия незначимо отличается от гипотетической генеральной дисперсии .

В третьем случае конкурирующая гипотеза имеет вид

.

При такой конкурирующей гипотезе находят критическую точку . Если окажется, что

,

то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противоположном случае ее отвергают.

Замечание 1. Если число степеней свободны , то критическую точку можно приближенно найти по равенству Уилсона-Гилферти

,

где z_α определяют из равенства

используя таблицы интегральной функции Лапласа (приложение 2).

3.Рассмотрим задачу сравнения нескольких (более двух) дисперсий нормальных генеральных совокупностей. Имеем l генеральных совокупностей X ₁, X ₂,…, X_l, которые распределены нормально. Из этих совокупностей извлечены независимые выборки, вообще говоря, различных объемов п ₁, п ₂,…, п_l. Случай выборок одинакового объема будет рассматриваться в данном параграфе несколько позднее. По выборкам найдены исправленные выборочные дисперсии .

Требуется по исправленным выборочным дисперсиям при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой:

.

Иными словами, требуется установить, значимо или незначимо различаются исправленные выборочные дисперсии. Такую гипотезу принято называть гипотезой об однородности дисперсий.

Напомним, что числом степеней свободы дисперсии называют число, на единицу меньше объема выборки, т.е. . Введем случайную величину – среднюю арифметическую исправленных дисперсий, взвешенную по числам степеней свободы:

, .

На основе этой случайной величины строится критерий Бартлетта

,

где

,

.

Бартлетт установил, что случайная величина при условии справедливости нулевой гипотезы распределена приближенно как с степенями свободы. Должно также выполняться условие

,

т.е. объем каждой из выборок должен быть не меньше 4.

Критическую область строят правостороннюю. При этом, исходят из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область(в предположении справедливости нулевой гипотезы) была равна принятому уровню значимости:

.

Критическую точку находят из таблицы приложения 5, по уровню значимости и числу степеней свободы . Тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством