Электрическое поле в однородной изотропной среде

Предположим, что имеется однородная изотропная среда с удельным сопротивлением ρ. Введем в эту среду электрод А, из которого вытекает ток силой i. Допустим, что размеры электрода А малы и электрод можно рас­сматривать как точечный, а второй электрод удален (теоретически в беско­нечность) и не оказывает влияния на электрическое поле вблизи электрода А.

Рис. 9 Электрическое поле в однородной изотропной среде.

При этих условиях линии тока, исходящие из точки А, будут прямыми, а эквипотенциальные поверхности — концентрическими сферами с центром в точке А. В пересечении с плоскостью чертежа эти сферы дают окружности с центром в точке А (рис. 9).

Определим потенциал в точке М, расположенной на расстоянии г от ис­точника тока.

Плотность j в точке М согласно формуле (7) равна:

(14)

Так как: ,

то

Зная это, потенциал в точке М можно вычислить так:

.

Так как потенциал в бесконечности равен нулю, т. е. при г = U = 0, то постоянная интегрирования С = 0. Тогда выражение потенциала в точке М, созданного точечным электродом А, через который протекает ток i, в однородной изотропной среде с удельным сопротивлением ρ примет вид:

(15)

Легко видеть, что если поменять местами точки А и М, т. е. источник тока поместить в точку М и определять потенциал в точке А, то его величина выражается тем же уравнением (15). Это положение справедливо также для неоднородной среды и находит важное практическое применение в электрическом каротаже, которое известно под названием принципа взаимности.