Основные свойства определителей

Важное значения для вычисления определителей и их применения в других расчётных операциях имеют свойства определителей. Рассмотрим их поочерёдно, при этом некоторые докажем.

1. Если в определителе поменять местами строки и столбцы, тоьего значение не изменится. Проверим это свойство на небольшом определителе.

=1х4-2х3=-2 или =1*4 –2*3=-2

Из этого свойства следует заключение, что строки и столбцы обладают равными свойствами, т.е. что можно проводить со строками, то можно проводить и со столбцами.

2. Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то её определитель равен нулю.

Справедливость этого свойства следует из замечания из предыдущего пункта, что все слагаемые в формуле вычисления определителя принадлежат разным строкам и столбцам. Значит в каждом из них в таком случае будет содержать ноль.

3. Если все элементы какой-либо строки или столбца умножить на некоторое число, то значение определителя увеличится на это число.

Δ= =2 и 3 *Δ= =6

4. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы её определитель меняет знак на противоположный.

Δ= =27 и Δ= = - 27

5. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбцы), то определитель равен нулю.

6. Если все элементы двух строк или соответственно столбцов пропорциональны, то определитель равен нулю.

7. Определитель матрицы не изменится. если к элементам какой-либо строки (столбаца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

8. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: , где С=А*В