Поток от нагнетательной скважины к эксплуатационной

Пусть сток О ₁ и источник О ₂равнодебитны, т. е. имеют одинаковые по модулю массовые дебиты G. Расстояние между источником и стоком равно 2 а. Исследуем поток от источника к стоку.

Проведём ось 0х через точки О ₁ и О ₂ таким образом, чтобы точка О ₁находилась от начала координат 0 на расстоянии а ₁, а точка О₂ на расстоянии а ₂(рисунок 9.3).

По формуле (9.2) определим потенциальную функцию потока. При этом учтем знаки дебитов: сток G ₁ = + G, а источник G ₂ = - G. После подстановки получим:

, 9.5)

где r ₁ и r ₂ – расстояния любой точки пласта до стока и источника, соответственно.

Уравнение изобар (9.4) при этом будет иметь вид:

(9.6)

и соответствует окружностям, центры которых расположены на оси 0х. Если поместим начало координат в центре какой-либо окружности семейства, то радиус данной окружности определится выражением:

(9.7)

а коэффициент равен: . (9.8)

Рисунок 9.3 – Схема стока и источника

Подставляя С ₁ в (9.7) найдем:

. (9.9)

Из (9.9) видно, что a ₁ < R < a ₂ или a ₁ > R > a ₂, следовательно, все окружности пересекают ось между стоком и источником, а значит, одна из особых точек находится внутри окружности данного радиуса R, другая - вне этой окружности. Точки О ₁ и О ₂, положения которых на прямой 0х определяются равенством (9.7), называются взаимосимметричными относительно окружности радиуса R.

Допустим, что радиус R = ¥, т. е. берём ту эквипотенциальную линию, которая является прямой. Из (9.7) следует, что в этом случае С ₁ = 1 и, как следует из (9.6), r ₁ = r ₂. Последнее равенство означает, что в числе эквипотенциальных линий есть прямая у^/, которая делит расстояние между стоком и источником пополам и параллельна оси 0у (рисунок 9.3).

Итак, эквипотенциальные линии (изобары) при совместном действии одной эксплуатационной и одной нагнетательной скважин в неограниченном пласте представляют собой окружности, центры которых расположены на прямой, проходящей через центры скважин (рисунок 9.4). Среди окружностей есть одна, имеющая бесконечно большой радиус – прямая, которая делит расстояние между скважинами и всю плоскость течения пополам. Половина всех окружностей конечного радиуса R расположена по одну сторону от этой прямой, остальные окружности – по другую.

Семейство линий тока ортогонально изобарам и, следовательно, является тоже семейством окружностей. Все линии тока проходят через сток и источник. Центры всех окружностей линий тока расположены на прямой, делящей расстояние между стоком и источником пополам (рисунок 9.4).

Массовый дебит эксплуатационной и нагнетательной скважин при их совместной деятельности определяется на основе соотношения (9.5), расписанного для каждой скважины при учете отношений радиусов (рисунок 9.3): на контуре эксплуатационной скважины ; на контуре нагнетательной скважины .

Решая, полученную систему уравнений, имеем:

. (9.10)

Массовая скорость фильтрации в любой точке пласта М (рисунок 9.2) находится по правилу суперпозиции сложения векторов скорости от действия источника и стока:

. (9.11)

Величина корня есть расстояние между источником и стоком 2 а, и следовательно, формула (9.11) перепишется в виде:

(9.12)

. (9.11)

Величина корня есть расстояние между источником и стоком 2 а, и, следовательно, формула (9.11) перепишется в виде:

(9.12)

Рисунок 9.4 – Фильтрационное поле источника и стока

Для поддержания пластового давления часто нагнетают воду в пласт. Определим для однородной несжимаемой жидкости время движения частицы по кратчайшему пути между нагнетательной и эксплуатационной скважинами, т. е. по оси 0х. При жестководонапорном режиме решается и вопрос о времени, от начала закачки воды в пласт до начала её прорыва в эксплуатационную скважину.

Чтобы решить задачу выразим скорость в (9.12) через производную расстояния по времени и, поместив начало координат в сток О ₁, проинтегрируем полученное уравнение от х ₀ до х. Тогда время движения частицы от некоторой точки х ₀ до точки х определится зависимостью:

. (9.13)

Время обводнения Т, т. е. длительность прохождения частицы расстояния О ₁ О ₂ = 2 а определится из (9.13), если принять х = 0; х ₀ = 2 а:

, (9.14)

где m – пористость; Q – объёмный дебит.

Зная Т можно найти площадь обводнения w, приравнивая объёмы TQ и mhw. Откуда:

. (9.15)

Анализ формул (9.13) и (9.14) показывает, что расстояние, пройденное частицей за время Т от нагнетательной скважины до эксплуатационной, вдвое больше расстояния пройденного другой частицей за это же время в положительном направлении оси ох.