Нормальное распределение. Если плотность распределения (дифференциальная функция) случайной переменной определяется выражением:

Если плотность распределения (дифференциальная функция) случайной переменной определяется выражением:

(5.10)

то говорят, что Х имеет нормальное распределение с параметрами а и . Вероятностный смысл параметров: =М(X), а . Обозначение:

Для расчета вероятности попадания нормально распределенной случайной величины Х в промежуток от до используется формула:

(5.11)

(интеграл Лапласа)

Формула (5.11) иногда в литературе называется интегральной теоремой Лапласа.

Функция обладает свойствами:

3 ) (см. таблицу приложения 2).

Функция табулирована. В частности для симметричного относительно а промежутка имеем:

(5.12)

Формула (5.12) применима и к частоте m, поскольку ее закон распределения при достаточно большом числе испытаний практически совпадает с нормальным. Применительно к случайной величине m, с учетом ее числовых характеристик

M(m) = np и (5.13)

формула (5.12) примет вид:

(5.14)

Формула (5.12) может быть применена и к относительной частоте с числовыми характеристиками и (5.15)

(5.16)

С вероятностью, очень близкой к единице (равной нормально распределенная случайная величина Х удовлетворяет неравенству:

(5.17)

В этом состоит правило трех сигм: если случайная величина распределена по нормальному закону, то ее отклонение от математического ожидания практически не превышает .

Локальная теорема Муавра-Лапласа. При р и p 1 и достаточно большом n биноминальное распределение близко к нормальному закону (причем их математические ожидания и дисперсии совпадают), т.е. имеет место равенство:

, где , a =nр

Тогда:

(5.18)

для достаточно больших n (здесь (х) - плотность вероятностей стандартной нормальной случайной величины и ).

6. Вариационные ряды и их характеристики