События А1, А2, ..., An (n > 2) называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошли или нет любые события из числа остальных

Распространим теоремы умножения на случаи n независимых и зависимых в совокупности событий.

Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.

P(A₁ ×A₂ × A₃ ×…× A_n) = P(A₁) × P(A₂) × P(A₃) ×…× P(A_n) (2.9)

Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:

	Р(АВ) = P(B) × Р(А/В)	(2.10)
	Р(А В) = P(B) × Р(А/В)
	или Р(АВ) = P(A)×Р(В/А)
	Р(А В) = Р(A)×(В/А)
Вероятность события В при условии появления события А:
P(B/A) = или P(B/A) =	(2.11)
.

Вероятность совместного наступления конечного числа n зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили, т.е.

P(A1 × A2 × A3 ×... ×Аn) = Р(A1) × P(A2 / A1) ×P(A3 / A1 × A2).×... ×P(An / A1 × A2 × A3 ×…× An-1) (2.12)

Если события А₁, А₂,... A_n - зависимые в совокупности, то вероятность наступления хотя бы одного из них соответственно равна:

(2.13)

Вероятность появления хотя бы одного события из n независимых в совокупности, равна разности между 1 и произведением вероятностей событий, противоположных данным, то есть:

(2.14)

Тема 3. ФОРМУЛЫ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И

БАЙЕСА

Часто мы начинаем анализ вероятностей имея предварительные, априорные значения вероятностей интересующих нас событий. Затем из источников информации, таких как выборка, отчет, опыт и т.д. мы получаем дополнительную информацию об интересующем нас событии. Имея эту новую информацию, мы можем уточнить, пересчитать значения априорных вероятностей. Новые значения вероятностей для тех же интересующих нас событий будут уже апостериорными ( послеопытными) вероятностями. Теорема Байеса дает нам правило для вычисления таких вероятностей.

Последовательность процесса переоценки вероятностей можно схематично изобразить так:

Априорные Новая информация из Байесовский Апостериорные

вероятности каких-либо источников анализ вероятности

Пусть событие А может осуществиться лишь вместе с одним из событий Н₁, Н₂, Н₃,..., Н_n, образующих полную группу. Пусть известны вероятности P(H₁), P(H₂),…P(H_i),…P(H_n). Так как события H_i образуют полную группу, то . Так же известны и условные вероятности события А: P(A/H₁), P(A/H₂), …P(A/H_i)…, P(A/H_n), i=1, 2, …, n. Так как заранее неизвестно с каким из событий H_i произойдет событие А, то события H_i называют гипотезами.