Выбор сложных сигналов

Как доказывает теория информации и общая теория связи [1,6], применение широкополосных сигналов повышает целый ряд показателей качества системы передачи информации и в настоящее время применяется достаточно широко, например, в целом ряде современных систем сотовой связи. Расширение спектра сигнала при использовании когерентного накопления позволяет обеспечить скрытность передачи информации, снижает опасность помех с сосредоточенным спектром, допускает перекрытие спектров сигналов различных систем при практическом отсутствии взаимных искажений. Следует также отметить, что использование широкополосных (сложных) сигналов исключает межсимвольные искажения [1,6] принимаемых сигналов.

В настоящей курсовой работе предлагается воспользоваться сложными сигналами для передачи синхронизирующих импульсов, обеспечивающих определение временного положения разрядных импульсов двоичного кода на приемной стороне, что необходимо как для восстановления аналогового сигнала, так и для правильной регистрации и отображения цифрового сигнала. В качестве сложного сигнала предлагается использование фазокодовой манипуляции каждого из импульсов информационной бинарной последовательности либо сигналом Баркера, либо линейной рекуррентной последовательностью (М-последовательностью). При этом символы информационного двоичного кода (“единицы” и “нули”) отличаются частотой или фазой высокочастотного заполнения в зависимости от вида модуляции во второй ступени. Таким образом, использование, например, кода Баркера длиной в 11 импульсов приводит к разбиению разрядного импульса на 11 элементарных импульсов, образующих код Баркера, и к увеличению ширины спектра сигнала в 11 раз. Однако отношение мощности сигнала к мощности шума в момент достижения сигналом максимума на выходе согласованного фильтра не изменяется, если спектральная плотность шума практически не зависит от частоты в полосе сигнала. Таким образом, несмотря на расширение полосы частот, занимаемой сигналом, вероятность ошибки выделения символа бинарного сообщения не возрастает, если используется согласованный фильтр для сложного сигнала, осуществляющий когерентное накопление импульсов фазоманипулированного сигнала (в данном примере – кода Баркера).

Поскольку форма сигнала на выходе согласованного фильтра совпадает с формой автокорреляционной функции сигнала, максимум которой совпадает с моментом окончания сигнала на входе фильтра, то сравнение качества различных сигналов целесообразно проводить на основе их функций автокорреляции. С этой точки зрения наибольшей привлекательностью обладают сигналы (коды) Баркера, максимальный уровень боковых лепестков которых меньше максимального уровня главного лепестка в N раз, где N – число импульсов кода. Однако максимальная длина кода Баркера N =13, более длинных таких кодов не найдено. Поэтому на практике значительно чаще используются линейные рекуррентные последовательности максимальной длины (М-последовательности), максимальный относительный уровень бокового лепестка функции автокорреляции которых не превышает , но длина N их не ограничена. Сигналы такого вида легко формируются [6] использованием цепочек регистров сдвига с обратной связью.

Для синтезирования сигналов Баркера нет регулярного алгоритма – их находят простым перебором с последующим вычислением функции автокорреляции. Если найденная функция автокорреляции имеет боковые лепестки, максимум которых не превышает 1/ N, то сформированный сигнал является сигналом Баркера. В табл. 5.1 представлены все найденные к настоящему времени коды Баркера.

Таблица 5.1- Таблица кодов Баркера

N
	1 1 0
	1 1 0 1
	1 1 1 0
	1 1 1 0 1
	1 1 1 0 0 1 0
	1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0
	1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1

Бесспорно, наилучшим среди кодов Баркера является код длиной N =13, максимальный уровень боковых лепестков которого равен 1/13. Доказано, что для N >13 не существуют коды с нечетным числом элементов, имеющие уровень боковых лепестков 1/ N, а для N >4 подобные коды для четного числа элементов не найдены. Эти обстоятельства ограничивают область использования сигналов Баркера.

Наибольшее применение находят фазокодоманипулированные сигналы, называемые М-последовательностями. Символы этих кодов d_k можно найти из рекуррентных уравнений:

, (5.1)

где , – двоичные коэффициенты, принимающие значения “0” и “1”.

Суммирование в (5.1) ведется по “модулю 2”.

Последовательность d_k двоичных чисел, найденная в соответствии с (5.1), при заданном наборе коэффициентов c _l после достижения k=N начинает периодически повторяться. Максимальное значение периода N достигается специальным подбором коэффициентов c _l, . Тогда последовательность dk является последовательностью максимального периода N= 2 ⁿ –1 и называется M-последовательностью. Относительный уровень боковых лепестков однократной полной М-последовательности, как правило, не превышает значения 1/ , а для периодической последовательности – 1/ N, как и для кода Баркера.

Значения коэффициентов c _l, при заданных значениях n подбираются по специальным правилам, которые приведены в литературе. Для облегчения их нахождения составлена таблица:

Таблица 5.2. Коэффициенты алгоритма формирования М-последовательностей

n	c1	c2	c3	c4	c5	c6

Для того, чтобы найти конкретную М-последовательность при заданном n, необходимо выбрать вариант вектора коэффициентов c _l, соответствующий какой-либо строке из табл. 5.2, задаться n начальными значениями d ₁, d ₂,..., d _n, которые могут быть любыми за исключением d ₁= d ₂=... = d_n =0, и воспользоваться уравнением (5.1) для . Для получения полной М-последовательности необходимо формировать k_max = N_max =2 ⁿ –1 членов последовательности, из которых n заданы начальными условиями, остальные находятся из (5.1). Возможно использование “усеченной” М-последовательности, где k_max < N_max, но в этом случае максимальный боковой лепесток функции автокорреляции может оказаться выше значения 1/ относительно ее максимума.

Как указывалось выше, в выполняемой работе необходимо сформировать два различных сложных сигнала – один для передачи информационных символов, второй – для передачи сигнала синхронизации, причем сигналы должны быть ортогональными. Однако применение сигналов Баркера и М-последовательностей небольшой длины не позволяет сделать сигналы ортогональными. Лишь при большой длине М-последовательностей их можно считать ортогональными. В случае, используемом в настоящей курсовой работе, необходимо сформировать два сложных сигнала, найти результаты их прохождения через “свой” согласованный фильтр и фильтр, согласованный со вторым сложным сигналом. По максимуму отклика сигнала на выходе “чужого” согласованного фильтра оценить степень ортогональности выбранных сигналов. В качестве пары сложных сигналов для информационной последовательности и синхроимпульсов можно выбрать коды Баркера, следующие в прямом и обратном направлениях, две М-последовательности, отличающиеся начальными условиями, или две М-последовательности, отличающиеся значениями коэффициентов в алгоритме (5.1).

Структура фильтра, согласованного с М-последовательностью, представляет собой линию задержки с отводами через интервал, равный длительности импульса τ_и последовательности. Сигналы с отводов поступают на вход сумматора, причем в отводы, на которых в момент поступления последнего импульса на вход линии задержки располагается импульс, имеющий символ “0”, включается инвертор, обеспечивающий в указанный момент времени на входе сумматора совпадение полярности всех импульсов и тем самым значение амплитуды выходного импульса, равного сумме амплитуд входных импульсов. Заключительным звеном фильтра, согласованного с одиночной М-последовательностью, является фильтр, согласованный с одиночным импульсом последовательности [7]. В качестве примера рассмотрим согласованный фильтр для М-последовательности длиной N =7 (n =3). В соответствии с табл. 5.2 и равенством (5.1) формируется уравнение последовательности d_k =

d_{k -2}+ d_{k -3}. Полагая d ₁ = d ₂ = d ₃ = 1, можно получить

d ₄ = d ₂ + d ₁ = 1 + 1 = 0,

d ₅ = d ₃ + d ₂ = 1 + 1 = 0,

d ₆ = d ₄ + d ₃ = 0 + 1 = 1,

d ₇ = d ₅ + d ₄ = 0 + 0 = 0.

Таким образом, находим последовательность, обозначенную символически 1110010, представленную рис. 5.1 в виде разнополярных видеоимпульсов S(t) амплитудой U ₀ и длительностью τ_и.

Рисунок 5.1. Первая М-последовательность

Сравнение полученной последовательности с данными табл. 5.1 показывает, что найденная М-последовательность совпадает с кодом Баркера из семи импульсов. Такие совпадения нечасты.

Рассмотрим структурную схему фильтра, согласованного с полученной последовательностью. В соответствии с указанным выше структурная схема состоит из линии задержки с отводами, состоящей из шести секций, каждая из которых задерживает сигнал на время, равное длительности импульса, весового сумматора и фильтра, согласованного с одиночным импульсом. Структурная схема согласованного фильтра приведена на рисунке. 5.2

Рисунок 5.2. Структурная схема фильтра, согласованного с М-последовательностью 1110010

Структурная схема фильтра, согласованного с одиночным прямоугольным видеоимпульсом, может быть представлена в виде, приведенном на рисунке. 5.3 [7].

Рисунок 5.3. Структурная схема фильтра, согласованного с одиночным прямоугольным видеоимпульсом

Указанный фильтр состоит из линии задержки на интервал времени, равный длительности импульса, устройства вычитания задержанного импульса из поступающего на вход, интегратора, формирующего на выходе импульс треугольной формы, временное положение вершины которого соответствует моменту окончания входного импульса. Именно в этот момент времени обеспечивается максимальное отношение пикового значения сигнала к эффективному значению шума на выходе фильтра. Максимум выходного сигнала М-последовательности совпадает по времени с моментом, соответствующим положению заднего фронта последнего импульса кода.

Можно показать, что согласованный фильтр обладает следующими свойствами [7]:

1. Комплексный коэффициент передачи:

где K ₀ – произвольный положительный коэффициент;

– спектральная плотность входного сигнала (“звездочка” означает комплексно-сопряженную функцию);

t ₀>0 – момент времени, при наступлении которого отношение пикового значения сигнала к эффективному значению помехи на выходе должно быть максимальным (обычно t₀ равно длительности сигнала).

2. Импульсная реакция фильтра является зеркальным отражением входного сигнала, сдвинутым вправо на длительность сигнала.

3. Отношение максимума выходного напряжения сигнала к эффективному значению шума на выходе:

,

где – удельная энергия сигнала на входе фильтра;

N ₀ – спектральная плотность помехи (“белого шума”) на входе фильтра.

4. Сигнал на выходе согласованного фильтра по форме совпадает с функцией корреляции входного сигнала, максимум которой находится в точке окончания сигнала на входе.

Рассмотрим один из способов построения формы сигнала на выходе согласованного фильтра при действии на входе полезного процесса, в данном случае – найденной выше М-последовательности из семи элементов, совпадающей с кодом Баркера.

Необходимо построить таблицу из N +2 строк и N +1 столбца (в данном случае N =7).

Таблица 5.3. К построению сигнала на выходе согласованного фильтра

*
*
*
Σ	–1		–1		–1

В верхней строке табл. 5.3. записываются в символической форме амплитуды (точнее, полярности) импульсов на выходах отводов линии задержки, представленной на рис. 5.2 в момент поступления на вход согласованного фильтра последнего импульса последовательности. Нулем показаны импульсы отрицательной полярности. В последующих строках показаны полярности импульсов в различных ветвях отводов на входах сумматора – в первой (после верхней) строке после всей линии задержки, во второй – после предпоследнего звена задержки и т.д. В ветвях, где расположены инверторы, полярности импульсов на входах сумматора противоположны полярностям на выходах соответствующих отводов.

Для наглядности левая колонка (см. табл. 5.3) указывает ветви, в которых содержатся инверторы, соответствующие таким ветвям строки помечены “звездочкой”, отсутствие отметки означает отсутствие инвертора в этой ветви. Нижняя строка представляет амплитуду (с учетом знака) импульса на выходе сумматора в моменты времени, отстоящие от момента прихода на вход фильтра последнего импульса на целое число длительностей импульсов, в том числе и непосредственно в момент прихода последнего импульса кода. При суммировании амплитуд импульсов необходимо учитывать его знак, полагая “единицу” положительным, а “ноль” – отрицательным импульсом единичной амплитуды. Таким образом, в момент прихода на вход фильтра последнего импульса кода на выходе сумматора амплитуда импульса в 7 раз выше амплитуды входного импульса, в последующие моменты соответственно: 0, –1, 0, –1, 0, –1. Отрицательный знак указывает на отрицательную полярность выходного сигнала. График последовательности импульсов на выходе сумматора приведен на рисунке 5.4.

Рисунок 5.4. Последовательность импульсов на выходе сумматора, входящего в состав согласованного фильтра

Как видно на рисунке 5.4, сигнал на выходе сумматора представляет собой последовательность из шести отрицательных импульсов единичной амплитуды и одного положительного, амплитуда которого в 7 раз выше амплитуды каждого из входных импульсов. Этот импульс образует в дальнейшем главный лепесток выходного сигнала, а остальные импульсы – боковые лепестки.

Рисунок 5.5. Сигнал на выходе согласованного фильтра при действии на входе информационного сигнала

С выхода сумматора сигнал S _Σ(t) поступает на вход фильтра, согласованного с одиночным видеоимпульсом прямоугольной формы, структурная схема которого приведена на рис. 5.3. Процесс на выходе согласованного фильтра можно получить графическим путем, интегрируя разность сигнала, представленного на рис. 5.4, и этого же сигнала, задержанного на длительность импульса τ_и. В результате можно получить процесс на выходе согласованного фильтра в целом, график которого представлен на рис. 5.5. Как и должно быть, его форма совпадает с формой функции автокорреляции входного сигнала, сдвинутой вправо на длительность сигнала.

Рассмотрим процесс на выходе согласованного фильтра при действии на его входе сигнала синхронизации, являющегося, как и информационный, М-последовательностью из семи импульсов, однако синтезированного по алгоритму d_k = d_{k -1} + d_{k -3} (табл.5.2) с начальными условиями d ₁=1, d ₂=0, d ₃=1. Используя приведенное выше уравнение, можно получить

d ₄ = d ₃ + d ₁ = 1 + 1 = 0,

d ₅ = d ₄ + d ₂ = 0 + 0 = 0,

d ₆ = d ₅ + d ₃ = 0 + 1 = 1,

d ₇ = d ₆ + d ₄ = 1 + 0 = 1.

Полученная последовательность имеет вид 1010011. Для построения сигнала на выходе фильтра, схема которого приведена на рис. 5.2, воспользуемся табл. 5.3 с расставленными в крайнем левом столбце “звездочками”, что характеризует расположение инверторов в отводах линии задержки. Дальнейшая процедура аналогична описанной выше. Результаты анализа приведены в табл. 5.4.

Таблица 5.4. К построению сигнала на выходе согласованного фильтра при действии на входе синхронизирующей последовательности

*

*

*

Σ

–2

–3

–2

–3

–1

Сигнал на выходе сумматора в этом случае имеет форму, представленную на рисунке 5.6.

Рисунок 5.6. - Процесс на выходе сумматора согласованного фильтра при действии синхронизирующего кода.

Выходной сигнал согласованного фильтра информационного кода при действии на входе кода синхронизации, как и ранее, можно получить, вычитая из S _ΣC(t) задержанный на длительность импульса сигнал с последующим интегрированием их разности. В результате можно получить сигнал, форма которого представлена на рисунке 5.7.

Рисунке 5.7. - Форма сигнала на выходе согласованного фильтра информационной последовательности при действии на входе синхронизирующей последовательности.

Как видно из рисунка 5.7, максимальное значение отклика сигнала на выходе равно трем амплитудам поступающего сигнала, умноженным на длительность импульса, тогда как при поступлении на вход информационной последовательности, с которой согласован фильтр, максимум отклика равен семи амплитудам входных импульсов, умноженным на их длительность. Полученная разница позволяет успешно селектировать полезный сигнал в присутствии мешающего с помощью порогового устройства.

Поскольку в составе приемной части системы имеется еще один согласованный фильтр для выделения синхронизирующего сигнала, необходимо провести анализ процессов на его выходе как при действии полезного (“своего”) сигнала на его входе, так и при действии мешающего сигнала. Методика анализа показана выше, необходимо лишь иметь в виду, что длительность

М-последовательностей при выполнении настоящей курсовой работы должна быть не меньше 15, или можно использовать код Баркера длительностью

13 импульсов.