Метод парных сравнений

Цель: Изучение метода парных сравнений. Проверка результатов на непротиворечивость.

2.2 Теоретическая часть

Одним из методов обработки информации, получаемой от экспертов, является метод парных сравнений. При использовании данного метода объекты сопоставляются попарно экспертами, а затем выбирается один из них. В общем случае эксперт может установить равенство объектов или зафиксировать свои предпочтения на некоторой шкале. Производить парное сравнение удобно, когда несколько экспертов рассматривают более чем два объекта, а также в тех случаях, когда различия между объектами настолько малы, что непосредственное ранжирование или оценка не обеспечивают их разумного упорядочения. Следовательно, метод парных сравнений имеет некоторое преимущество перед другими методами упорядочения в случаях, когда число объектов много и (или) они трудно различимы.

Чаще всего при парном сравнении двух объектов ограничиваются простой констатацией того, что один из них предпочтительнее другого. В отдельных случаях, когда степень предпочтения можно выявить, используются специальные шкалы, где каждой степени предпочтения присваивается определенная оценка. Однако простейшая форма парных сравнений, когда устанавливается, что объект А «лучше» в некотором отношении объекта В, наиболее удобна, так как она уменьшает область возможной несогласованности между экспертами до минимума.

На первом этапе строится таблица (2.2.1), в которой эксперты устанавливают ранги факторам в порядке их важности, затем полученные индивидуальные предпочтения усредняются с учетом мнений всех экспертов.

Таблица 2.2.1

Таблица рангов

Номер эксперта	Номер варианта
		…	n
	x11	x12		x1n
	x21	x22		x2n
…
m	xm1	xm2		xmn
Сумма рангов	X1	X2		Xn
Средний ранг

Далее на основе полученной таблицы строится матрица (А) парных сравнений, в которой каждый элемент а_i,j равен числу случаев, когда параметр i предпочтительнее параметра j. Форма матрицы (А) парных сравнений показана в таблице 2.2.2.

Таблица 2.2.2

Матрица А: парных сравнений

			…	j	…	n
	-	a12		a1j		a1n
	a21	-		a2j		a2n
…
i	ai1	ai2		aij		ain
…
n	an1	an2		anj		-

В главной диагонали такой матрицы проставляются прочерки или нули. Каждая пара факторов сравнивается дважды (например, сначала а₁₂, а затем а₂₁). На основе полученной матрицы строится следующая матрица (Р), показывающая процентное отношение случаев, когда фактор i оказывался более значимым, нежели фактор j, в общем числе полученных оценок (табл.2.2.3).

Таблица 2.2.3

Матрица Р: доля случаев,

когда фактор i предпочтительнее фактора j.

Фактор i	Фактор j
		…	j	…	n
	-	p12		p1j		p1n
	p21	-		p2j		p2n
…
i	pi1	pi2		pij		pin
…
n	pn1	pn2		pnj		-

Процентное соотношение вычисляется по следующей формуле:

(2.2.1)

где m – число экспертов; кроме того, р_ij + p_{j i}= 1.

После получения обобщенной матрицы (Р), элементы которой p_ij представляют относительное число предпочтений, полученных от всех экспертов, по каждому фактору перед каждым другим фактором, производится их шкалирование. Процедура построения шкальных оценок состоит в том, чтобы обратить наблюдаемые отношения p_ij (матрица Р) в ожидаемые Z_ij по уравнению (2.2.2), используя таблицу нормированного нормального распределения.

(2.2.2)

где, Z_ij - нормированное отклонение, соответствующее p_ij, представляющему долю случаев предпочтения фактора i фактору j.

Строится матрица (Z) основного преобразования Z (табл. 2.2.4) с рядами цифр для каждого фактора i и столбцами цифр для каждого фактора j.

Таблица 2.2.4

Матрица Z: основного преобразования (различий)

Фактор i	Фактор j	сумма
		…	J	…	N
	-	z12		z1j		z1n	Z1
	z21	-		z2j		z2n	Z2
…
i	zi1	zi2		zij		zin	Zi
…
n	zn1	zn2		znj		-	Zn

Среднее значение вычисляется по следующей формуле:

(2.2.3)

где m – число экспертов.

На основе полученной матрицы строится таблица расчёта нормированной относительной важности вариантов.

Величина рассчитывается по формуле:

= (2.2.4)

Полученные результаты можно проверить на непротиворечивость.

Рассмотрим пример. В качестве экспертов для оценки значимости подразделов бизнес-плана (Лабораторная работа № 1) были приглашены шесть опытных специалистов. Эксперты проранжировали подразделы в порядке их важности. Результаты сведены в таблицу 2.2.5.

Таблица 2.2.5