Решение системы тригонометрических уравнения узловых напряжений в форме баланса мощностей методом Ньютона

Решение методом Ньютона системы тригонометрических уравнения узловых напряжений практически ничем не отличается от рассмотренного в общем виде в разделе 2.3.4. Придавая в (1) (см п. 2.3.5) индексу i — номеру узла значения i =1, 2, …, n, записываем систему уравнений, неизвестные в которой — фазовые углы и модули напряжений и сами уравнения для повышения вычислительной устойчивости рассматриваются в приводимом ниже порядке. Если в каждом независимом узле заданы, то получим систему из 2 n уравнений с 2 n неизвестными,, где n - число неизвестных комплексов напряжений узлов

Система тригонометрических уравнений Неизвестные:

узловых напряжений в форме баланса мощностей Фазовые углы

в развернутом виде:

(1) в матричной компактной форме записи:

(1)

В системе линейных алгебраических уравнений относительно поправок к неизвестным (2) фигурируют значения частных производных от всех функций небалансов вначале активных а затем реактивных мощностей (1) по всем неизвестным, причем вначале находятся производные по фазовым углам, а затем по модулям напряжений. При таком порядке расположения уравнений и таком порядке расположения значений частных производных в матрице Якоби (2) на главной диагонали этой матрицы стоят наибольшие по модулю числа, что повышает вычислительную устойчивость решения системы уравнений (2).

Система линейных алгебраических уравнений относительно поправок к неизвестным Значения неизвестных на p -ом шаге

фазовым углам Δδ и модулям напряжений Δ U итераций

. Развернутая матричная форма

Компактная матричная форма (2) (3)

В компактной матричной форме записи система линейных алгебраических уравнений (2) записывается при помощи клеточных матриц. Здесь

,,, — матрицы-клетки значений частных производных функций небалансов активных и реактивных мощностей по фазовым углам и модулям напряжений в узлах. Они образуются, если в развернутой форме матрицы Якоби системы уравнений (2) провести две перегородки, одну — горизонтальную, после значений частных производных от функций небалансов активных мощностей, и одну — вертикальную, после дифференцирования функций небалансов по фазовым углам. Поправки к неизвестным и значения правых частей системы (2) также представлены в виде клеточных матриц- столбцов.

Алгоритм решения системы уравнений узловых напряжений

1. Задаются значениями неизвестных фазовых углов и модулей напряжений на нулевом шаге итерационного процесса, которые можно обозначить как, поскольку номер шага итераций принимает значения p =1, 2,…Задаются также точностью расчёта ԑ, МВт, Мвар — допустимыми значениями невязок, небалансов мощностей в узлах.

2 Значения неизвестных подставляются в уравнения (1), рассчитываются невязки (небалансы) и сравниваются с заданной точностью (погрешностью).

Если неравенства выполняются – конец расчета, если нет – идти к п.3.

3 Значения неизвестных подставляются в предварительно полученные выражения для частных производных, в результате рассчитываются элементы матриц Якоби и заканчивается формирование системы линейных алгебраических уравнений (2) относительно поправок.

4 Решается система линейных алгебраических уравнений (2) методом Гаусса с обратным ходом. Находятся значения поправок и уточненные значения неизвестных согласно (3).

5 Идти к п.2.

Особенности решения систем уравнений узловых напряжений методом Ньютона

1 Так как многоразовое вычисление тригонометрических функций sinδ _i, cosδ _i требует значительного увеличения машинного времени, в некоторых программах используют замену неизвестных δ _i на неизвестную. Полученная таким образом система нелинейных уравнений с неизвестными U_i, решается без использования тригонометрических функций, что значительно ускоряет расчет. Значения фазных углов рассчитываются после окончания итерационного процесса с использованием соотношений:

2 Для повышения надежности решения в части генераторных узлов в качестве независимых параметров режимов задают. Пусть число таких узлов, называемых опорными или балансирующими по Q, равно m ₁. Число неизвестных модулей напряжений U_i равно n - m ₁ и фазовых углов, общее число неизвестных равно 2 n - m _1.Тогда матрица Якоби представляет собой квадратную матрицу, имеющую порядок 2 n - m _1.

3 Матрица Якоби системы уравнений установившегося режима слабо заполнена, как и матрица Y _у. Поэтому в расчетах на ЭВМ на каждом шаге метода Ньютона используются способы сохранения слабой заполненности матрицы производных.

Важнейшее преимущество метода Ньютона в расчётах установившихся режимов на ЭВМ – быстрая квадратичная сходимость и возможность учета слабой заполненности матрицы производных. Время расчета по этому методу возрастает с увеличением числа узлов энергосистемы в среднем немного быстрее, чем по линейному закону, в то время как в методе Гаусса-Зейделя время расчёта растет приблизительно пропорционально квадрату числа узлов.

Недостатки метода:

1 Большая чувствительность к выбору начального приближения неизвестных.

2 В системе с плохо обусловленной матрицей Якоби, метод Ньютона может не сходиться. Плохая обусловленность может явиться следствием сильной неоднородности параметров схемы замещения энергосистемы, а также близости искомого установившегося режима к границе апериодической устойчивости энергосистемы. Сходимость в основном определяется свойствами матрицы.

3 Необходимость на каждом шаге рассчитывать элементы матрицы Якоби.

4 Невозможность вести расчёты при комплексных неизвестных и коэффициентах.

Улучшение сходимости метода Ньютона

Улучшение сходимости метода Ньютона достигается:

1. Введение в вычислительную схему параметра t (метод «по параметру»):

.

Существуют различные алгоритмы выбора параметра, например, параметр выбирается из условия достижения на каждом шаге метода Ньютона минимума суммы квадратов невязок—т.н. градиентный метод). Методы «по параметру» широко используются в расчётах установившихся (особенно тяжелых) режимов сложных электрических систем. Эти методы позволяют при несовместных исходных данных решать задачу введения режима в допустимую область.

Метод по параметру характеризуется быстрой сходимостью и относительно небольшими потребностями машинного времени. Недостаток метода – сложность, требующая от программиста высокой квалификации.

2 Другим способом улучшения сходимости метода Ньютона является учет кроме линейного члена разложения функций в ряд Тейлора членов с производными более высокого порядка.

3 Недостаток метода Ньютона —большая чувствительность к выбору начального приближения неизвестных преодолевается введением хороших начальных фаз напряжений узлов энергосистемы. В ряде случаев используется алгоритм, в котором расчет проводится, начиная с метода Гаусса-Зейделя. После нескольких итерации по этому методу осуществляется переход на метод Ньютона.

Важным при анализе установившихся режимов энергосистем является вопрос единственности уравнений установившегося режима.

2.5 РАСЧЕТЫ УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ СИСТЕМ БОЛЬШОЙ СЛОЖНОСТИ

При расчетах установившихся режимов электрических сетей и систем большой сложности во многих случаях практически невозможно и нецелесообразно вести расчёт применительно к полной схеме замещения, отражающей все элементы системы.

В таких условиях чаще всего находит применение эквивалентирование большей части системы, реже – разделение её на подсхемы.

При эквивалентировании, используемом в промышленных программах комплексах для расчётов установившихся режимов, большая часть схемы замещения системы упрощается перед выполнением расчетов с целью уменьшения числа узлов и ветвей.

При разделении схемы на подсхемы расчёт режима ведется на основе нескольких групп уравнений, часть из которых описывает режимы выделенных подсхем, а часть характеризует взаимную связь режимов этих подсхем.

В основу эквивалентирования схем замещения для расчетов установившихся режимов положен алгоритм прямого хода метода Гаусса исключения неизвестных из системы уравнений узловых напряжений. Рассмотрим небольшой участок схемы замещения системы.

При исключении к-го узла, связанного с узлами, звезда проводимостей (сопротивлений) этого узла преобразуется в треугольник с проводимостями сторон

,

где - собственная узловая проводимость узла к.

К -ый шаг прямого хода метода Гаусса, на котором из системы уравнений узловых напряжений исключается неизвестное, равносилен в электрическом смысле преобразованию звезды сопротивлений этого узла в эквивалентный треугольник.

Подобные преобразования схем замещения являются эквивалентными, поскольку напряжения и токи в других узлах и ветвях остаются неизменными.

Рассмотренный способ преобразования составляет основу эквивалентирования для расчётов установившихся режимов. Все энергосистемы, примыкающие к энергосистеме, для которой проводится расчёт установившегося режима эквивалентируются небольшим числом фиктивных узлов и ветвей, соединяющих эквивалентируемую часть системы с т.н. узлами примыкания. Параметры эквивалентируемых узлов и ветвей и являются результатом работы программы эквивалентирования. Следует отметить, что при таком эквивалентировании эквивалентная схема не адекватна исходной по величине сумарных потерь мощности.