Алгоритм метода Гаусса с обратным ходом

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), состоящую из трёх уравнений с тремя неизвестными.

Алгоритм состоит из 2 этапов: прямой ход и обратный ход.

Первый этап – прямой ход метода Гаусса – СЛАУ за n шагов преобразовывается в эквивалентную СЛАУ с верхней треугольной матрицей коэффициентов.

Первый шаг прямого хода:

В системе уравнений выделяется опорное уравнение — (L 1), в нём выбирается исключаемое неизвестное — х ₁. Коэффициент при этом неизвестном а ₁₁ называется ведущим элементом. При условии, что а ₁₁≠0, все члены опорного уравнения делятся на ведущий элемент. Первое уравнение после выполнения первого шага обозначим как. Далее неизвестное х ₁ исключается из уравнений L 2 и L 3, для чего уравнение умножается поочередно на коэффициенты при неизвестном х ₁ в L 2— а ₂₁ и в L 3— а ₂₁ и вычитается из уравнений L 2 и L 3. Уравнения L 2 и L 3 после выполнения первого шага прямого хода обозначим как и. Они образуют новую систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными.

Второй шаг прямого хода:

Первое уравнение не изменяется. Теперь опорное уравнение —, исключаемое неизвестное — х ₂ , ведущий элемент —. Далее выполняются такие же действия, что и на первом шаге. После выполнения второго шага прямого хода система уравнений имеет вид:

.

Третий шаг прямого хода состоит из одного действия — уравнение делится на ведущий элемент.

.

В результате выполнения трех шагов прямого хода исходная система уравнений преобразовалась в систему уравнений с верхней треугольной матрицей коэффициентов:

.

Второй этап – обратный ход состоит из непосредственного вычисления неизвестных