Решите самостоятельно следующие задачи

1. Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии

xi
mi

2. Найти несмещенную дисперсию по данному распределению выборки объема n=10:

xi	0,02	0,04	0,09
mi

3. Результаты измерений 100 деталей микрометром представлены в таблице

интервал,мм	4 - 6	6 - 8	8 - 10	10 - 12	12 - 14	14 - 16	16 - 20
частота

Найти оценки генеральной средней и генеральной дисперсии.

4. Дано эмпирическое распределение числа появлений события в 10 опытах по 5 испытаний в каждом

xi
mi

Найти методом моментов оценку параметра р биноминального распределения.

5. Случайная величина Х (время работы элемента) имеет показательное распределение. Приведено эмпирическое распределение среднего времени работы 200 элементов

xi	2,5	7,5	10,5	16,5	20,5	28,5
mi

Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра λ показательного распределения.

6. Найти методом моментов по выборке х₁, х₂,…, х_n точечные оценки неизвестных параметров α и β гамма-распределения, плотность которого

.

7. Случайная величина Х (уровень воды в реке по сравнению с номиналом) подчиняется гамма-распределению. Приведено распределение среднего уровня воды по данным 45 паводков

xi	31,5	61,5	87,5	110,5	127,5	162,5	183,5
mi

Найти оценки параметров α и β.

8. Найти методом моментов оценки неизвестных параметров:

а) биноминального распределения;

б) геометрического распределения;

в) показательного распределения;

г) нормального распределения.

9. Найти методом наибольшего правдоподобия оценки неизвестных параметров:

а) распределения Пуассона;

б) показательного распределения.

10. Найти оценку параметров а и σ распределения Кэптейна, плотность которого

11. Найти оценку параметра в распределения, заданного функцией плотности по имеющейся выборке 2; 3/2; 4/3; 1.

12. Найти оценку параметра μ распределения, заданного функцией плотности по имеющейся выборке 2; 3; 0; 1.

13. Случайная величина Х распределена нормально со средним квадратическим отклонением σ=2. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью β=0,95 точность оценки математического ожидания δ=0,25.

14. Проведено 20 измерений случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, результаты которых приведены в таблице

xi
mi

Построить с надежностью β=0,99 доверительный интервал для математического ожидания.

15. Из большой партии деталей, имеющих нормальное распределение, выбраны 20 деталей, средний размер которых оказался равным 340 мм, исправленное среднее квадратическое отклонение – 20 мм. Определить с надежностью β=0,95:

а) доверительный интервал для математического ожидания;

б) доверительный интервал для среднего квадратического отклонения;

в) доверительный интервал для математического ожидания, когда n=50.

16. При каком объеме выборки можно утверждать с надежностью β=0,95445, что отклонение выборочной средней от генеральной средней не превысит предельной ошибки δ=0,25, если дано среднее квадратическое отклонение σ=1.

17. Распределение рабочих по времени, затрачиваемому на обработку одной детали, дано в таблице

время обработки детали, мин	2 - 4	4 - 6	6 - 8	8 - 10	10 - 12
число рабочих

Найти 95% интервал для генерального среднего квадратического отклонения.

18. Выполнение норм выработки рабочих характеризуется данными из таблицы

Процент выполнения	90 - 100	100 - 110	110 - 120	120 - 130	130 - 140
число рабочих

Найти 95% доверительный интервал для генеральной средней и генерального среднего квадратического отклонения.

19. Для исследования доходов населения города, составляющего 20 тыс. человек, было отобрано 1000 жителей. Получено следующее распределение жителей по месячному доходу (руб.):

xi	менее 500	500-1000	1000-1500	1500-2000	2000-2500	свыше 2500
mi

а) найти вероятность того, что средний месячный доход жителя города отличается от среднего дохода не более, чем на 145 руб. (по абсолютной величине);

б) определить границы, в которых с надежностью 0,99 заключен средний месячный доход жителей города;

в) каким должен быть объем выборки, чтобы те же границы гарантировать с надежностью 0,9973.

20. По результатам социологического исследования при опросе 1500 респондентов рейтинг президента (т.е. процент опрошенных, одобряющих его деятельность) составил 30%. Найти границы, в которых с надежностью 0,95 заключен рейтинг президента (при опросе всех жителей страны). Сколько респондентов надо опросить, чтобы с надежностью 0,99 гарантировать предельную ошибку социологического обследования не более 1%.

21. Для определения зольности угля взято 200 проб. В результате лабораторных исследований установлена средняя зольность – 17% при отклонении 3%. С вероятностью 0,95 найти пределы, в которых находится средняя зольность месторождения.

22. Изготовлен экспериментальный игровой автомат, который должен обеспечить появление выигрыша в одном случае из 100 бросаний монеты. Для проверки автомата произведено 400 испытаний, выигрыш появился 5 раз. Найти доверительный интервал, покрывающий известную вероятность с надежностью 0,999.

23. Выборочная проверка показала, что из 100 изделий 87 удовлетворяют стандарту. Мы хотим быть уверены на 95%, что не ошибаемся в оценке процента нестандартных изделий. Каким должен быть объем, чтобы оценить процент брака с точностью до 0,01.

24. Выборочно обследовали качество кирпича. Из 1600 проб в 32 случаях кирпич оказался бракованным. Требуется определить, в каких пределах заключается доля брака для всей продукции, если результаты необходимо гарантировать с вероятностью 0,95.

25. Произведено 12 измерений одним прибором некоторой физической величины, исправленное среднее квадраитческое отклонение s=0,6. Найти точность прибора с надежностью 0,99.