Интервальные оценки

Выборка является образом генеральной совокупности, ее параметры – образами параметров всей генеральной совокупности. Вычисленные по выборке эмпирические числовые характеристики являются оценками этих характеристик всей генеральной совокупности. Если из той же генеральной совокупности сделаем другую выборку, то получим несколько иные значения. Следовательно, мы допускаем некоторую ошибку, находя точечную оценку. Чтобы избежать этого, строят интервальные оценки.

Интервальной оценкой называют такую оценку, которая определяется двумя числами, являющимися концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр статистической совокупности.

Пусть неизвестный параметр распределения, - найденная по данным выборки статистическая характеристика этого параметра. Тогда тем точнее определяет , чем меньше абсолютная величина разности

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки называют вероятность β, с которой осуществляется неравенство

Обычно в качестве β берут числа, близкие к единице (чаще всего 0,9; 0,95; 0,98; 0,99; 0,9975).

р()=β

или

.

Доверительным интервалом называют интервал (), который покрывает неизвестный параметр с надежностью β, где δ – предельная ошибка выборочной оценки.

1. Доверительный интервал для математического ожидания (а) при известном среднем квадратическом отклонении (σ) находится из условия:

- + (3.2)

где n – объем выборки;

- выборочная средняя;

к_β – аргумент функции Лапласа, при котором

Число определяется по таблице значений Ф(х) (приложение 1).

При этом называется точностью оценки. Выражение - средняя ошибка выборки или средняя ошибка репрезентативности.

2. Доверительный интервал для математического ожидания (а), если среднее квадратическое отклонение неизвестно, имеет вид

- + (3.3)

где s – исправленное (несмещенное) среднее квадратическое отклонение,

t – определяется по таблице Стьюдента при числе степеней свободы k=n-1 и α=1-β (приложение 2).

3. Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения σ нормального распределения

S(1-q) < σ < S(1-q) (3.4)

где - определяется по таблице значений q=q(γ;n) (приложение 3).

4. Интервальная оценка (с надежностью β) неизвестной вероятности р биноминального распределения имеет вид

< p < (3.5)

где - относительная частота;

n – общее число испытаний;

m – число появлений события в n испытаниях.