Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Если функция yi(x) является решением ЛНДУ
(3) y(n) + P1y(n-1) + … + Pny = fi(x) то функция = α1y1 + α2y2 + … + αnyn, то это функция является решением y(n) + P1y(n-1) + … + Pny = α1 f1(x) + α2 f2(x) + … + αn fn(x) (4)
Док-во: для n=2
y = α1y1 + α2y2
y’ = α1y1’ + α2y2’
y’’ = α1y1’’ + α2y2’’
Подставим y, y’, y”, в (4), учитываем что y1 y2 решение соответственного уравнения (3)
α1y1” + α2y2” + P1(x)[ α1y1’+ α2y2’] + P2(x)[ α1y1+ α2y2] =
= [α1y1” + P1(x)α1y’1 + P2(x)α1y1] + [α2y2” + P1(x)α2y’2 + P2(x)α2y2] = α1f1(x) + α2f2(x)
16. Метод вариации произвольных постоянных – метод Лагранжа
Метод позволяет найти решение ДУ независимо от вида правой части, когда известно общее решение соотв-го однородного ДУ.
ДУ 2-го порядка. Пусть y”+P1(x)y’+P2(x)y=f(x) (1) пусть y1(x) и y2(x) - ФСР ЛОДУ
y”+P1(x)y’+P2(x)y=0 (x)= C1y1(x)+C2y2(x) (2). Частное решение y*(x) в виде (14) считая при этом C1 и C2 не постоянными, а неизвестными функциями от x.
y*= C (x)y (x)+C (x)y (x), y*= C’ (x)y (x)+C(x) y’ (x)+C’ (x)y (x)+ C(x) y’ (x)
Пусть C (x) и C (x) C’ (x)y (x)+ C’ (x)y (x)=0 /справедливое равенство (3), тогда y* ’= C (x)y’ (x)+ C (x)y’ (x); y* ”= C (x)y’ (x)+ C (x)y” (x)+ C’ (x)y’ (x)+ C (x)y” (x).
Подставим y*, y* ’, y* ” в (1): C (x)[ y” (x) + P (x)y ’(x) + P (x) y (x)] + C (x)[ y” (x) + P (x)y ’(x) + P (x) y (x)] + C’ (x)y’ (x)+ C’ (x)y’ (x)=f(x). Т.к. y (x), y (x) решения ОДУ, то выражения []=0 C’ (x)y’ (x) + C’ (x)y’ (x)=0.
Объясним два условия и (3):
C’1(x)y1(x)+ C’2(x)y2(x)=0
C’1(x)y’1(x)+ C’2(x)y’2(x)=f(x) (4)
Неопределённые функции C’1(x) и C’2(x).
Определитель этой системы: W[y1, y2]= 0 решая эту систему, мы получим C (x)= (x), C (x)= (x) проинтегрируем и получим решение C1(x) и C2(x) найдены. Подставим в y*.
Для ЛНДУ n-го порядка ф-ии Ci(x) определяются из системы:
C’ (x)y + C’ (x)y +…+ C’ (x)y =0
C’ (x)y’ + C’ (x)y’ +…+ C’ (x)y’ =0
……………………………………………
C’ (x)y + C’ (x)y +…+ C’ (x)y =0
C’ (x)y + C’ (x)y +…+ C’ (x)y =f(x)
Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 837 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!