Вывод формулы вычисления объема тела вращения относительно оси OX и OY (в декартовой системе координат)

Пусть задано тело, ограниченное замкнутой поверхностью, известно S любого сечения плоскостью, перпендик. к OX –(поперечное)

1. Разбив отрезок [a,b] на n частей a=Xₒ<X₁<X₂...<X_n=b

Обозначим ΔX_k=X_k-X_k-1, k=1,n

λ=max_[a,b]{ΔX_k}, через x_k проводим поперечное сечение

2. Выберем ξ_k [x_k-1, x_k] произвольно и найдем S(ξ_k); каждый слой тела Т представляет собой цилиндр с основанием S(ξ_k) и высотой ΔX_k

ΔV_k= S(ξ_k) ΔX_k

V=

V=

Вычисление объема тела вращения: Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции aABb ограниченной кривой y=f(x), осью O_x и x = a, y = b

1. Рассмотрим произвольное разбиение [a,b] x₀ = a < x₁< x₂<… < x_n = b

обозначим Δx_k = x_k-x_k-1

2. Пересекаем тело вращения плоскостями перпендикулярными Ox и получи круги, радиусы которых равны |yk|=|f(xk)| На каждом [x_k-1- x_k] выберем произвольным образом ξ_k S(ξ_k)= πf²(ξ_k) (S=πR²)

3. Предположим на любом частном отрезке ф-ия S=S(x) совпадает с S(ξ_k). Тогда объем частичного цилиндра: ΔV_k = S(ξ_k)Δx_k = πf²(ξ_k)Δx_k