Решение. Поскольку при увеличении расстояния от вершины кривизна параболы монотонно убывает, то, чем больше размеры шара

Поскольку при увеличении расстояния от вершины кривизна параболы монотонно убывает, то, чем больше размеры шара, тем выше он застрянет в вазе. Кроме того, если шар опирается на край вазы, а его поверхность не касается внутренней поверхности вазы, то шар несколько меньшего диаметра погрузится в вазу глубже и вытеснит больше воды. Следовательно, для того чтобы объём вытесненной шаром воды был максимальным, необходимо рассматривать шары, которые касаются внутренней поверхности вазы.

Сопоставим поперечные сечения вазы и шара. Пусть шар касается параболы в точке . Можно показать, что его центр находится в точке с координатами .

Действительно, требуя, чтобы система уравнений имела единственное решение, получим . Тогда . Откуда .

Объем сферического сегмента радиусом и высотой равен . Дифференцируя по , получим . Необходимый признак экстремума даёт . Исключая отсюда и , найдём зависимость радиуса шара от параметров параболоида и : .

Ответ. Шар, вытесняющий наибольший объём воды, имеет радиус .

Задача № 7.

Бесконечная последовательность (вещественных) чисел получается почленным сложением двух геометрических прогрессий. Может ли эта последовательность начинаться с таких чисел: .

Если может, то найдите такие последовательности.