Цилиндры и поверхности вращения

Из поверхностей, отличных от 2-го порядка рассмотрим два частных случая.

Пусть задано уравнение F(x;y)=0 в пространстве. И требуется установить, как выглядит поверхность.

Комментарий. Т.к. сказано, что уравнение задано в пространстве, то отсутствие в уравнении некоторых переменных не противоречит определению поверхности в разделе 6.1.

Рассуждаем так. Добавим к этому уравнению уравнение z=0. Тогда

Эта система есть линия на плоскости хОу. На ней можно взять точку М(х;у). Если теперь эту точку перемещать вдоль Oz, не меняя х и у этой точки, то уравнение поверхности F(x;y)=0 будет тождественно выполняться, т.к. тождественно выполняется первое уравнение системы. Значит поверхность образована движением прямой, параллельной Oz и пересекающей данную линию на плоскости. Естественно эту поверхность назвать цилиндрической. У нее две характеристики, определяющие ее вид: кривая F(x;y)=0 при z=0 – направляющая цилиндра; и прямая, пересекающая эту кривую, перпендикулярная плоскости расположения кривой и называемая образующей цилиндра.

Вывод: всякое уравнение с двумя переменными в пространстве определяет цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной отсутствующей координате и направляющей – кривой в плоскости переменных, записанных в уравнении поверхности.

Пусть дана плоская линия для определенности в плоскости хОу уравнениями

На ней можно взять точку М(х;у). Если теперь эту точку вращать около оси Oх, то точка опишет окружность с центром на оси Ох и радиусом, равным у точки М. Уравнение этой окружности Z2+Y2=y2. В уравнении большими буквами записаны фактически меняющиеся координаты точки на окружности, а малое у – это радиус. Такие же окружности описывают все точки кривой и образуется поверхность вращения. На каждой окружности этой поверхности х=Х. Если из уравнения окружности выразить у и подставить в уравнение кривой, то получим F(Х, )=0. Но последнее уравнение содержит три переменные и потому является уравнением поверхности вращения взятой в начале линии относительно Ох.

Вывод: если в некотором уравнении квадраты двух переменных имеют одинаковые коэффициенты, то это поверхность вращения. А механизм получения уравнения поверхности, образованной вращением некоторой линии относительно координатной оси, представлен выше.