Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Термином (билинейные операции над векторами) иногда называют операции скалярного и векторного произведений двух векторов.
Определение. Скалярным произведением двух векторов и называют величину Cosф, где ф – угол между векторами. Обозначения или (, ).
По этому определению двум векторам ставится в соответствие скаляр, который можно истолковать как работу постоянной по величине и направлению силы на прямолинейном участке пути.
Из определения вытекают простейшие свойства такого произведения.
1. = ; 2. С( )=(С ) . 3. ( + ) = + и 4. =0
для ненулевых векторов, если векторы ортогональны (перпендикулярны).
Можно получить формулу для вычисления скалярного произведения,
если векторы заданы в координатной форме (своими координатами). Пусть =ax +ay +az и =bx +by +bz . Тогда = ax bx +ay by +az bz. Т.к. при перемножении по свойству 3 с учетом определения остальные слагаемые будут равны нулю.
Из последнего соотношения следует, что = 2.Читается – скалярный квадрат равен квадрату модуля.
Из определения и полученных соотношений вытекают другие формулы. Например, для проекции одного вектора на другой получаем = . Условие перпендикулярности векторов axbx+ayby+azbz=0.
2.3.Векторное произведение векторов
Определение. Векторным произведением двух векторов и называют вектор , который:
-имеет модуль, равный произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла меду ними - = sinф;
-ортогонален (перпендикулярен) каждому из векторов и (т.е. плоскости с векторами и );
-вместе с векторами и в порядке , , образует правую тройку векторов. Обозначают векторное произведение или [ , ].
Комментарий. Классическое понятие правой тройки векторов , , в указанном порядке: если наблюдать с конца любого вектора поворот от следующего за ним к предыдущему в направлении против часовой стрелки, то тройка векторов правая. В противном случае – левая.
Примером правой тройки будет набор декартовых базисных векторов , , . А в бытовом понятии правую тройку связывают с правым буравчиком (правой резьбой), когда при вращении по часовой стрелке буравчик (винт, гайка) продвигается вглубь от вращающего.
Т.к. sinф, то геометрически определение говорит о том, что площадь параллелограмма, построенного на множителях и равна модулю вектора .
К определению
В качестве механической интерпретации векторного произведения может быть взят момент силы (постоянной по величине и направлению), приложенной к точке А относительно точки О. Вектор направлен так, что образует правую тройку с перемножаемыми векторами и численно равен величине Sinф.
Механическая интерпретация .
Справедливы следующие свойства векторного произведения.
С1.Для коллинеарных векторов и справедливо =0.
С2. = .
С3. =l().
Координатная форма вычисления . Пусть =ax +ay +az и =bx +by +bz . Тогда =(ax +ay +az )х(bx +by +bz ). Далее используем взаимное расположение векторов , , и свойство 3 получим по определению
axbx х +aybx х +azbx х +aхbу х +aуby х +azbу х + +axbz х +ay bz х +az bz х = (aхbу-aybx) +(azbx- axbz) +
+(ay bz - azbу) = . Полученная символическая формула не противоречит ни свойствам определителя о смене знака при смене местами параллельных рядов, ни свойству векторного произведения о смене знака при смене порядка множителей. Из нее получается простое правило проверки коллинеарности векторов – равенство отношений (или пропорциональность координат).
2.4.Смешанное произведение векторов
Рассмотрим произведения трех векторов:
((, ), ) – уже известное нам произведение скаляра на вектор – и потому ничего нового;
[[ , ], ] - двойное векторное произведение, которое имеет узкое приложение в механике;
([ , ], ) – векторно-скалярное (смешанное) произведение, которое имеет широкое применение в математике и приложениях.
Анализируя известное произведение [ , ] по Рис.2.2, можно получить геометрическую интерпретацию для смешанного произведения
([ , ], ). Модуль векторного произведения – площадь параллелограмма, построенного на векторах-множителях и равной =½ ½. Если теперь перемножить скалярно векторы и , то получим отрезок ОВ, равный высоте параллелепипеда, построенного на векторах-сомножителях , , как на ребрах. Т.о., модуль ([ , ], ) численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах множителях.
К определению ([ , ], )
Используя координатную форму векторного произведения, получаем координатную форму смешанного произведения
([ , ], )= (сx +сy +сz )=((aхbу - aybx) +(azbx- axbz) +(ay bz - azbу) )) (сx +сy +сz )=(aхbу - aybx) сx +(azbx- axbz) сy +(ay bz - azbу) сz = = . Если в последнем определителе переставим местами 1-ю и 3-ю строки, то определитель не изменится и мы получим более удобную запись координат перемножаемых векторов в порядке их следования в произведении.
Из последней формулы для вычисления смешанного произведения следует возможность проверки компланарности (параллельности одной плоскости) трех векторов – если ([ , ], )=0, то векторы-множители компланарны. И следствием последнего равенства будет условие линейной зависимости трех векторов в пространстве.
2.5.Типовые задачи, решаемые средствами векторной алгебры
Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 237 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!