Теорема Лагранжа

Если функция f(x) непрерывна на [a,b] и дефференцирована на (a,b), то сущест.

т. с(a,b), такая, что: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).

Доказательство: Теорема Лагранжа имеет простой геометрический.смысл, если записать её в виде (f(b)–f(a))/(b–a)=f'(c) при (а<с<b). Левая часть этого равенства есть тангенс угла наклона к оси х хорды, стягивающей точки (a,f(a)) и (b,f(b)) графика функции y=f(x), а правая часть есть тангенс угла наклона касательной к графику в некоторой промежуточной точке с абсциссой сÎ(а,b). Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая (рис) есть график непрерывной на [ а,b] функции, имеющей производную на (а,b), то на этой кривой существует точка, соответствующая некоторой абсциссе с(а<с<b) такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой (a,f(a)) и (b,f(b)). Равенство {1} наз. формулой (Лагранжа) конеч­ных приращений. Промежуточное значение с удобно запи­сывать в виде c=a+q(b– a), где q есть некоторое число, удовлетворяющее неравенствам 0<q<1. Тогда формула Лагранжа примет видf(b)–f(a)=(b- a)f'(a +q(b–a)) (0<q<1). {2} Она верна, очевидно, не только для a <b, но и для a ³b.