Анализ решения ЗЛП на основе отчетов MS EXCEL

Для приготовления четырех видов продукции (А, В, С, D) используют три вида сырья. Заданы ресурсы сырья, норма его расхода на единицу продукции и цена продукции. Определить план выпуска продукции из условия максимизации его стоимости.

Решить с помощью MS EXCEL следующие задачи:

1. Найти решения исходной задачи и двойственной задачи.

Двойственная задача имеет вид:

max g ()=2400Y₁+1200Y₂+2000Y₃

при

2Y₁+Y₂+3Y₃ ≥ 7,5

Y₁+5Y₂ ≥ 3

0,5Y₁+3Y₂+6Y₃ ≥ 6

4 Y₁+Y₃ ≥12

Y_1,2,3,4 ≥0

Отчет по результатам (решение исходной задачи)

Отчет по устойчивости (решение двойственной задачи):

2. Определите статус, ценность каждого ресурса и его приоритет при решении задачи увеличения запаса ресурсов.

Отчет по устойчивости (теневая цена):

б) Отчет по результатам (статус)

Так как все ограничения являются связанными, то это говорит о том, что все ресурсы были использованы. Другими словами, все ресурсы являются дефицитными. Поэтому любое снижение запаса ресурса будет приводить к уменьшению прибыли, например, если уменьшить запас первого ресурса на единицу, то прибыль уменьшится на величину Y1=2,813 (из отчета по устойчивости).

Теневая цена в отчетах Excel представляет собой двойственные переменные. Они показывают, как изменится целевая функция при изменении запаса ресурса на единицу. Если теневая цена равна нулю, то ресурс находится в избытке и его запас можно уменьшить. Если теневая цена положительна, то ресурс является дефицитным (связанным). Чем больше теневая цена, тем ресурс приоритетней и тем больше его вклад в образование прибыли.

3. Определите максимальный интервал изменения запасов каждого из ресурсов, в пределах которого структура оптимального плана, то есть номенклатура выпускаемой продукции, остается без изменения.

Отчет по устойчивости:

Максимальный интервал изменения запасов:

2400-2193,33≤ ≤2400+5840

1200-485,106≤ ≤1200+10966,66

2000-1460≤ ≤2000+950

206,67≤ ≤8240

714,894≤ ≤12166,66

540≤ ≤2950

4. Определите суммарную стоимостную оценку ресурсов (себестоимость), используемых при производстве единицы каждого изделия. Производство какой продукции нерентабельно?

Отчет по устойчивости (теневая цена и нормир. стоимость):

Y1=2,813, Y2=0,037 Y3=0,747 (двойственная задача)

Себестоимость продукта А равна: 2*2,813+1*0,037+3*0,747=7,904564315352, она больше цены (7,5) на 0,404564315352, что равно нормированной стоимости из отчета по устойчивости (с точностью до знака). Поэтому производство продукта А является нерентабельным.

Если нормированная стоимость равна нулю, то выпуск данного продукта является рентабельным; если >0, то нерентабельным.

5. На сколько уменьшится стоимость выпускаемой продукции при принудительном выпуске единицы нерентабельной продукции?

Отчет по устойчивости (нормир. Стоимость):

Величина нормированной стоимости (по модулю) представляет собой значение соответствующей дополнительной двойственной переменной, которая показывает, насколько уменьшится целевая функция при принудительном выпуске единицы нерентабельной продукции.

В нашем примере нормированная стоимость по продукту А неравна нулю. Следовательно, если мы будем принудительно выпускать единицу продукта А, то целевая функция уменьшится на 0,404564315352.

6. На сколько можно снизить запас каждого из ресурсов, чтобы это не привело к уменьшению прибыли?

Отчет по результатам (статус):

Снизить запас можно только недефицитного ресурса (несвязанное ограничение).

Так как все ограничения являются связанными, то это говорит о том, что все ресурсы были использованы. Другими словами, все ресурсы являются дефицитными. Поэтому любое снижение запаса ресурса будет приводить к уменьшению прибыли, например, если уменьшить запас первого ресурса на единицу, то прибыль уменьшится на величину Y1=2,813.

Также ответ на этот вопрос может содержаться в отчете по устойчивости. Если теневая цена равна нулю, то ресурс находится в избытке и его запас можно уменьшить. Если теневая цена положительна, то ресурс является дефицитным (связанным).

Запас каждого из ресурсов можно снизить на величину, указанную в столбце «разница» отчета по результатам.

7. Определите изменение стоимости продукции и количество выпускаемых изделий при увеличении второго вида сырья на Z единиц.

а) изменение стоимости продукции

Для ответа рассмотрим целевую функцию двойственной задачи с измененным количеством второго вида сырья.

g()=2400 +(1200+100) +2000 =

=g()+100 =

g()+0,037344*100=8290,456+3,7344=

=8294,19087.

б) изменение количества выпускаемых изделий

Для ответа на этот вопрос необходимо внести изменения в исходную таблицу:
- при решении задачи Симплекс-методом («вручную»):

X₁*=B ^-1 b= =

- при решении задачи в Ms Excel необходимо внести изменения в исходную таблицу:

В итоге получим следующие результаты:
1. Отчет по результатам

2. Отчет по устойчивости

8. Определите оптимальное решение задачи для случая, когда вектор ресурсов задан в виде .

а) случай, при котором b находится в допустимом интервале

Максимальный интервал изменения запасов:

206,67≤ ≤8240

714,894≤ ≤12166,66

540≤ ≤2950

Допустим, , тогда

б) случай, при котором не входит в допустимый интервал.
В этом случае пользоваться выше приведенной формулой нельзя.
Допустим, , тогда, внеся изменения в таблицу, получим:

1. Отчет по результатам:

2. Отчет по устойчивости:

9. Определите интервалы изменения цен на каждую продукцию, при которых сохраняется оптимальный план.

Отчет по устойчивости:

0 ≤ с₁ ≤ 0,405

0,191 ≤ с₂ ≤ 7,5

0,956 ≤ с₃ ≤ 67,8

0,878 ≤ с₄ ≤ 0,75

Поскольку продукт А не производится, то уменьшение его цены не скажется на решении (продукт А по прежнему не будет выпускаться), а если цена превысит величину 7,905, то продукт А станет рентабельным.

10. На сколько нужно снизить затраты каждого вида сырья на единицу продукции, чтобы сделать производство нерентабельного изделия рентабельным?

В нашем случае нерентабельным (неприбыльным) является выпуск продукта А.

Ограничение по двойственной задаче по первому ресурсу имеет вид:

2Y₁+Y₂+3Y₃ ≥ 7,5.

Отчет по устойчивости:

В нашем случае нерентабельным (неприбыльным) является выпуск продукта А.

Продукт А станет рентабельным, если его цена возрастет с 7,5 до 7,905.

Продукт А можно сделать рентабельным, снизив его себестоимость, что можно сделать, снизив затраты сырья на единицу продукции.

Ограничение по двойственной задаче по первому ресурсу имеет вид:

2Y1+Y2 +3Y3 ≥ 7,5.

С учетом этого уравнение рентабельности имеет вид:

(2-∆1)∙2,813+(1-∆2) ∙0,037+(3-∆3) ∙0,747=7,5

В данном случае существует большое количество решений.

Например, если ∆2 =∆3 =0, тогда уравнение примет вид:

2- ∆1 =7,5/2,813

∆1 =-0,6661 – одно из возможных решений, т.е. если потребление первого ресурса на единицу продукции А снизится с 2 единиц до 2-0,6661=1,339, то продукция А станет рентабельной.

11. На сколько нужно изменить запас каждого из дефицитных ресурсов, чтобы прибыль возросла на 20%?

Отчет по устойчивости:

Поскольку двойственные переменные (теневые цены) показывают на сколько изменится прибыль при изменении ресурса на единицу, то общее изменение прибыли можно записать в виде:

8290,456*0,2=

В данном случае существует большое количество решений.

Пусть

= /(2,813+0,037+0,747)=460,965

b1=2400+460,965=2860,965

b2=1200+460,965=1660,965

b3=2000+460,965=2460,965