Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Модель линейного программирования является как бы «моментаьным снимком» реальной ситуации, когда параметры модели (коэффициенты целевой функции и неравенств ограничений) предполагаются неизменными. Естествено изучить влияние изменения параметров модели на полученное оптимальное решение задачи ЛП. Такое исследование называется анализом на чувствительность. В этом разделе анализ чувствительности основывается на графическом решении задачи ЛП.
Пример 3.3.
Компания производит краску для внутренних и наружных работ из сырья двух типов: М1 и М2.
Необходимая информация представлена в следующей таблице:
Расход на 1 тонну | сырья краски | Максимально возможный | |
Для наружных работ | Для внутренних работ | ежедневный расход сырья | |
Сырье М1 | |||
Сырье М2 | |||
Доход на тонну краски (тыс.дол) |
Отдел маркетинга компании ограничил ежедневное производство краски для внутренних работ до 2 т, а кроме того этот показатель не должен превышать более чем на тонну показатель выпуска краски для внешних работ.
Цель компании:
Определить оптимальное соотношение между видами выпускаемой продукции для максимизации общего ежедневного дохода.
Составленная математическая модель задачи выглядит следующим образом:
Максимизировать Z(x)=5X1+4X2
при выполнении ограничений
6Х1+4Х2 ≤24
Х1+2Х2≤6
Х2≤2
X2-X1≤1
Х1≥0
Х2≥0
В результате применения графического метода решения ЗЛП, рассмотренного в параграфе 3.2, получен график (рис.3.6)
Рис.3.6. Решение задачи
Решением задачи является точка с координатами: Х1=3;Х2=1,5. Целевая функция при таком решении принимает значение Z=21 тыс. дол.
Проведем для данной задачи анализ чувствительности. Рассмотрим два случая:
1) изменение коэффициентов целевой функции;
2) изменение значений констант в правой части неравенств ограничений.
1. Изменение коэффициентов целевой функции. В общем виде целевую функцию задачи ЛП можно записать следующим образом:
Максимизировать или минимизировать Z(x)=С1 X1+C2 X2
Изменение значений коэффициентов С1 и С2 приводит к изменению угла наклона прямой Z. Графический способ решения показывает, что это может привести к изменению оптимального решения: оно будет достигаться в другой угловой точке пространства решений. Вместе с тем, очевидно, существуют интервалы изменения коэффициентов С1 и С2, когда текущее оптимальное решение сохраняется. Задача анализа чувствительности и состоит в получении такой информации. В частности, представляет интерес определение интервала оптимальности для отношения С1 /С2 (или, что то же самое, для С2 /С1); если значение отношения С1 /С2 не выходит за пределы этого интервала, то оптимальное решение в данной модели сохраняется неизменным.
На рис.3.6. видно, что функция Z(x)=5X1+4X2 достигает максимального значения в угловой точке С. При изменении коэффициентов целевой функции Z(x)=С1 X1+C2 X2 точка С останется точкой оптимального решения до тех пор, пока угол наклона линии Z будет лежать между углами наклона двух прямых, пересечением которых является точка С. Этими прямыми являются 6Х1+4Х2 ≤24 (ограничение на сырье М1) и Х1+2Х2≤6 (ограничение на сырье М2). Алгебраически это можно записать следующим образом:
или
.
В первой системе неравенств условие означает, что прямая, соответствующая целевой функции, не может быть горизонтальной. Аналогичное условие в следующей системе неравенств означает, что эта же прямая не может быть вертикальной. Из рис.3.7 видно, что интервал оптимальности данной задачи (он определяется двумя прякающимися в точке С) не разрешает целевой функции быть ни горизонтальной. Ни вертикальной. Таким образом, получено две системы неравенств, определяющие интервал оптимальности в данной задаче.
Рис.3.7. Интервал оптимальности
Итак, если коэффициенты С1 и С2 удовлетворяют приведенным выше неравенствам, оптимальное решение по прежнему будет достигаться в точке С. Отметим, если прямая Z(x)=С1 X1+C2 X2 совпадет с прямой Х1+2Х2≤6, то оптимальным решением будет любая точка отрезка CD. Аналогично, если прямая, соответствующая с целевой функцией, совпадет с прямой 6Х1+4Х2 ≤24, тогда любая точка отрезка ВС будет оптимальным решением. Однако очевидно, что в обоих случаях точка С остается точкой оптимального решения.
Приведенные выше неравенства можно использовать при определении интервала оптимальности для какого-либо одного коэффициента целевой функции, если предположить, что другой коэффициент остается неизменным. Например, зафиксируем значение коэффициента С2 (пусть С2=4), тогда интервал оптимальности для коэффициента С1 получаем из неравенств путем подстановки туда значения С2=4. После выполнения элементарных арифметических опреаций получаем неравенства для коэффициента С1: 2≤С1≤6.
Это означает, что при фиксированной цене на краску для внутренних работ, цена на краску для наружных работ может меняться в интервале от 2 тыс. дол.за тонну до 6 тыс.дол. за тонну, при том, что оптимальное соотношение (решение) останется неизменным.
Аналогично, если зафиксировать значение коэффициента С1 (пусть С1=5), тогда из неравенства получаем интервал оптимальности для коэффициента С2: .
2. Изменение значений констант в правой части неравенств ограничений. Стоимость ресурсов. Во многих моделях линейного программирования ограничения трактуются как условия ограниченности ресурсов. В таких ограничениях правая часть неравенств является верхней границей количества доступных ресурсов. Рассмотрим на примере чувствительность оптимального решения к изменению ограничений, накладываемых на ресурсы. Такой анализ задачи ЛП предлагает простую меру чувствительности решения, называемую стоимостью единицы ресурса; при изменении количества доступных ресурсов (на единицу) значение целевой функции в оптимальном решении изменится на стоимость единицы ресурса.
В примере 3.3. первые два неравенства представляют собой ограничения на использование сырья М1 и М2 соответственно. Определим стоимость единиц этих ресурсов.
В данной задаче оптимальное решение достигается в точке С, являющейся точкой пересечения прямых, соответствующих ограничениям на сырье М1 и М2. При изменении уровня доступности материала М1 (увеличение или уменьшение текущего уровня, равного 24 т) точка С оптимального решение «плывет» вдоль отрезка DG (рис.3.8).
Рис.3.8.
Любое изменение уровня доступности материала М1, приводящее к выходу точки пересечения С из этого отрезка, ведет к неосуществимости оптимального решения в точке С. Поэтому можно сказать, что концевые точки D=(2,2) и G=(6,0) отрезка DG определяют интервал осуществимости для ресурса М1. Количество сырья М1, соответсятвующего точке D=(2,2), равно 6Х1+4Х2=20 т. Аналогично, количество сырья, соответствующего точке G=(6,0), равно 36 т. Таким образом, интервал осуществимости для ресурса М1 составляет 20≤М1≤36. Если определить М1 как М1=24+D1, где D1– отклонение количества материала М1 от текущего уровня в 24 т, тогда последние неравенства можно переписатькак 20≤24+D1≤36 или -4≤D1≤12. Это означает, что текущий уровень ресурса М1 может быть уменьшен не более, чем на 4 т и увеличен не более, чем на 12 т. В этом случае структура оптимального решения не изменится.
Вычислим стоимость единицы материала М1. При изменении количества сырья М1 от 20 до 36 тонн, значения целевой функции Z будут соответствовать положению точки С на отрезке DG. Обозначив через y1 стоимость единицы ресурса М1, получим следующую формулу:
Если точка С совпадает с точкой D=(2,2), то Z=5*2+4*2=18 (тыс. дол.), если же точка С совпадает с точкой G=(6,0), тогда Z=5*6+4*0=30 (тыс.дол.). Отсюда следует, что
(тыс.дол.на тонну материала М1).
Этот результат показывает, что изменение количества ресурса М1 на одну тонну приводит к изменению в оптимальном решении значсения целевой функции на 750 дол.
Рассмотрим ресурс М2. На рис. 3.9 видно, что интервал осуществимости для ресурса М2 определяется концевыми точками В и Н отрезка ВН, где В=(4,0) и Н=(8/3,2).
Рис.3.9
Точка Н находится на пересечении прямых ЕD и ВС. Находим, что количество сырья М2, соответствующего точке В, равно Х1+2Х2=4+2*0=4т, а в точке Н- 20/3т. Значение целевой функции в точке В равно Z=5*4+4*0=20 тыс.дол., а в точке Н- Z=5*8/3+4*2=64/3 тыс.дол. Отсюда следует, что количество сырья М2 может изменятся от 4 до 20/3 тонн, а стоимость единицы ресурса М2, обозначенная как y2, равна (тысяч долларов на тонну материала М2).
Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 2360 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!