Математическая модель задачи

Текущая обводненность продукции скважин определяется следующим соотношением: дебит воды, добываемой одновременно с нефтью из всех скважин;

q_н – дебит нефти.

Понятно, что . Так как кривая на рис.3.1 выражает зависимость .

Поскольку получим . Из предыдущего равенства имеем

. или . (3.1)

. (3.2)

Полученная задача Коши (3.1) – (3.2) решается различными численными методами.

Теория вытеснения нефти водой, развитая Баклеем и Левереттом, изложена в [4]. В качестве аппроксимирующей функций зависимости приведенной в рис.6 используем выражение

(3.3)

(3.3) называется функцией Баклея – Леверетта, где а – положительная константа.

3.3.Численные методы решения задачи (3.1) – (3.2).

Поясним основные понятия, возникающие при использовании численных методов.

Введем по переменной t равномерную сетку с шагом h>0, т.е. рассмотрим множество точек .

1. Метод Эйлера. Уравнение (3.1) заменяется разностным уравнением

.

Где

Решение этого уравнения находится явным образом по рекуррентной формуле .

Погрешность метода. , где – константа, зависящая от правой части дифференциального уравнения (3.1). В этом случае метод имеет первый порядок точности.

2. Метод Рунге – Кутта второго порядка точности.

Предположим, что приближенное значение решение исходной задачи в точке уже известно. Для нахождения поступим следующим образом. Сначала, используя схему Эйлера вычислим промежуточное значение , а затем воспользуемся разностным уравнением , из которого явным образом найдем искомое значение .

Погрешность метода. , где – константа, зависящая от исходных данных (3.1). Этот метод имеет второй порядок точности.

3. Метод Рунге – Кутта третьего порядка точности.

Считаем, что решение задачи (3.1) – (3.2) в точке уже известно. Тогда решение задачи (3.1) – (3.2) определяется по следующей схеме:

Погрешность метода.

, где – константа, не зависящая от к.

4. Метод Рунге – Кутта четвертого порядка точности.

Погрешность метода.

, где – константа, зависящая от начальных данных и не зависящая от к.

Замечание: Метод Рунге-Кутта также применяется, если неизвестная функция является вектором, т.е.

, где Лекция 7.

Задача теплообмена в трубопроводе нефтеперевозки.

Дифференциальные уравнения второго порядка. Краевая задача