При заданном потреблении и запасах

Справочный материал.

Предприятие выпускает видов продукции, используя сырьё видов. Матрица задаёт расход сырья по видам продукции, матрица задаёт запасы сырья, где – расход сырья i -ого вида на j -й вид продукции, – запас сырья i -ого вида. Если – объём выпуска продукции первого вида, – второго, – третьего, то объём выпуска продукции каждого вида при условии полного расхода запасов сырья определяется из решения следующей системы линейных алгебраических уравнений:

Пример. Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырьё четырёх видов. Матрица задаёт расход сырья по видам продукции, матрица задаёт запасы сырья:

, .

Требуется определить объём выпуска продукции каждого вида при условии полного расхода запасов сырья.

Решение.

Пусть – объём выпуска продукции первого вида, – второго, – третьего. При условии полного расхода запасов сырья задача сводится к решению следующей системы линейных алгебраических уравнений:

Решим систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы:

.

Приведём расширенную матрицу системы к ступенчатому виду.

1) Прибавим к первой строке вторую, умноженную на :

.

2) Прибавим ко второй строке первую, умноженную на , прибавим к третьей строке первую, умноженную на , прибавим к четвёртой строке первую, умноженную на :

.

3) Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на :

.

4) Вычеркнем нулевую строку:

.

5) Умножим вторую строку на 69, третье на :

.

6) Прибавим к третьей строке вторую:

.

7) Разделим вторую строку на 69:

.

Расширенная матрица приведена к ступенчатому виду. Ранг матрицы системы равен 3 и ранг расширенной матрицы системы равен 3, поэтому система совместна. И так как ранг совпадает с числом неизвестных, то система имеет единственное решение.

Запишем систему уравнений по виду последней матрицы:

Из третьего уравнения , из второго уравнения , из третьего уравнения .

Ответ: первого вида продукции необходимо выпустить 250 ед., второго 200 ед., третьего 100 ед.

Задание 10. Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырьё четырёх видов. Матрица задаёт расход сырья по видам продукции, матрица задаёт запасы сырья. Требуется определить объём выпуска продукции каждого вида при условии полного расхода запасов сырья.

1. , .

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

6. , .

7. , .

8. , .

9. , .

10. , .

11. , .

12. , .

13. , .

14. , .

15. , .

16. , .

17. , .

18. , .

19. , .

20. , .

21. , .

22. , .

23. , .

24. , .

25. , .

26. , .

27. , .

28. , .

29. , .

30. , .

31. , .

32. , .

33. , .

34. , .

35. , .

36. , .