Образец решения при ,

Определим исходные данные:

,

,

.

Возможность перекредитования появляется через лет или 44 квартала.

Кредитный план №1

Первый план погашения кредита (без перекредитования) предполагает ежеквартальную выплату равных частей основного долга:

,

где – первоначальная сумма кредита, – количество выплат с одновременным начислением процентов, в данном случае количество кварталов в году, – количество лет.

Остаток долга перед каждым кварталом определяем по формуле:

где – номер очередного квартала выплаты.

Процентные платежи рассчитываются исходя из остатка долга на конец каждого квартала по формуле

.

Таким образом, ежемесячные выплаты по кредиту составят

.

Составим таблицу плана погашения кредита:

кварталы, k	основной долг, R, руб.	остаток долга, S(k), руб.	проценты, I(k), руб.	выплаты по кредиту, М(k), руб.
	166666,67	10000000,00	625000,00	791666,67
	166666,67	9833333,33	614583,33	781250,00
	166666,67	9666666,67	604166,67	770833,33
	166666,67	9500000,00	593750,00	760416,67
	166666,67	9333333,33	583333,33	750000,00
	166666,67	9166666,67	572916,67	739583,33
	166666,67	9000000,00	562500,00	729166,67
	166666,67	8833333,33	552083,33	718750,00
	166666,67	8666666,67	541666,67	708333,33
	166666,67	8500000,00	531250,00	697916,67
	166666,67	8333333,33	520833,33	687500,00
	166666,67	8166666,67	510416,67	677083,33
	166666,67	8000000,00	500000,00	666666,67
	166666,67	7833333,33	489583,33	656250,00
	166666,67	7666666,67	479166,67	645833,33
	166666,67	7500000,00	468750,00	635416,67
	166666,67	7333333,33	458333,33	625000,00
	166666,67	7166666,67	447916,67	614583,33
	166666,67	7000000,00	437500,00	604166,67
	166666,67	6833333,33	427083,33	593750,00
	166666,67	6666666,67	416666,67	583333,33
	166666,67	6500000,00	406250,00	572916,67
	166666,67	6333333,33	395833,33	562500,00
	166666,67	6166666,67	385416,67	552083,33
	166666,67	6000000,00	375000,00	541666,67
	166666,67	5833333,33	364583,33	531250,00
	166666,67	5666666,67	354166,67	520833,33
	166666,67	5500000,00	343750,00	510416,67
	166666,67	5333333,33	333333,33	500000,00
	166666,67	5166666,67	322916,67	489583,33
	166666,67	5000000,00	312500,00	479166,67
	166666,67	4833333,33	302083,33	468750,00
	166666,67	4666666,67	291666,67	458333,33
	166666,67	4500000,00	281250,00	447916,67
	166666,67	4333333,33	270833,33	437500,00
	166666,67	4166666,67	260416,67	427083,33
	166666,67	4000000,00	250000,00	416666,67
	166666,67	3833333,33	239583,33	406250,00
	166666,67	3666666,67	229166,67	395833,33
	166666,67	3500000,00	218750,00	385416,67
	166666,67	3333333,33	208333,33	375000,00
	166666,67	3166666,67	197916,67	364583,33
	166666,67	3000000,00	187500,00	354166,67
	166666,67	2833333,33	177083,33	343750,00
	166666,67	2666666,67	166666,67	333333,33
	166666,67	2500000,00	156250,00	322916,67
	166666,67	2333333,33	145833,33	312500,00
	166666,67	2166666,67	135416,67	302083,33
	166666,67	2000000,00	125000,00	291666,67
	166666,67	1833333,33	114583,33	281250,00
	166666,67	1666666,67	104166,67	270833,33
	166666,67	1500000,00	93750,00	260416,67
	166666,67	1333333,33	83333,33	250000,00
	166666,67	1166666,67	72916,67	239583,33
	166666,67	1000000,00	62500,00	229166,67
	166666,67	833333,33	52083,33	218750,00
	166666,67	666666,67	41666,67	208333,33
	166666,67	500000,00	31250,00	197916,67
	166666,67	333333,33	20833,33	187500,00
	166666,67	166666,67	10416,67	177083,33
итого

Таким образом, для плана без перекредитования общая сумма всех выплат по кредиту без дисконтирования составит руб.

Важное замечание об округлении. Заметим, что суммы в таблице приведены с точностью до 2 знаков после запятой (копеек). Однако при вычислении использованы точные значения без округлений. При выполнении работы необходимо придерживаться тех же правил. Использование округленных значений в расчетах может очень сильно исказить общий результат.

Кредитный план №2

Воспользуемся кредитным планом №1 для первых одиннадцати лет (44 кварталов) погашения кредита:

кварталы, k	основной долг, R, руб.	остаток долга, S(k), руб.	проценты, I(k), руб.	выплаты по кредиту, М(k), руб.
	166666,67	10000000,00	625000,00	791666,67
	166666,67	9833333,33	614583,33	781250,00
	166666,67	9666666,67	604166,67	770833,33
	166666,67	9500000,00	593750,00	760416,67
	166666,67	9333333,33	583333,33	750000,00
	166666,67	9166666,67	572916,67	739583,33
	166666,67	9000000,00	562500,00	729166,67
	166666,67	8833333,33	552083,33	718750,00
	166666,67	8666666,67	541666,67	708333,33
	166666,67	8500000,00	531250,00	697916,67
	166666,67	8333333,33	520833,33	687500,00
	166666,67	8166666,67	510416,67	677083,33
	166666,67	8000000,00	500000,00	666666,67
	166666,67	7833333,33	489583,33	656250,00
	166666,67	7666666,67	479166,67	645833,33
	166666,67	7500000,00	468750,00	635416,67
	166666,67	7333333,33	458333,33	625000,00
	166666,67	7166666,67	447916,67	614583,33
	166666,67	7000000,00	437500,00	604166,67
	166666,67	6833333,33	427083,33	593750,00
	166666,67	6666666,67	416666,67	583333,33
	166666,67	6500000,00	406250,00	572916,67
	166666,67	6333333,33	395833,33	562500,00
	166666,67	6166666,67	385416,67	552083,33
	166666,67	6000000,00	375000,00	541666,67
	166666,67	5833333,33	364583,33	531250,00
	166666,67	5666666,67	354166,67	520833,33
	166666,67	5500000,00	343750,00	510416,67
	166666,67	5333333,33	333333,33	500000,00
	166666,67	5166666,67	322916,67	489583,33
	166666,67	5000000,00	312500,00	479166,67
	166666,67	4833333,33	302083,33	468750,00
	166666,67	4666666,67	291666,67	458333,33
	166666,67	4500000,00	281250,00	447916,67
	166666,67	4333333,33	270833,33	437500,00
	166666,67	4166666,67	260416,67	427083,33
	166666,67	4000000,00	250000,00	416666,67
	166666,67	3833333,33	239583,33	406250,00
	166666,67	3666666,67	229166,67	395833,33
	166666,67	3500000,00	218750,00	385416,67
	166666,67	3333333,33	208333,33	375000,00
	166666,67	3166666,67	197916,67	364583,33
	166666,67	3000000,00	187500,00	354166,67
	166666,67	2833333,33	177083,33	343750,00
итого	7333333,33	2666666,67	17645833,33	24979166,67

Кроме того, для перекредитования в конце 44 квартала необходимо заплатить штраф 300 000 руб.

После одиннадцати лет погашения остаток долга составит:

руб.

Составим новый кредитный план погашения оставшейся суммы руб. на оставшиеся четыре года (), аналогичный кредитному плану №1, но с использованием процентной ставки . То есть:

,

.

Заметим, что сумма погашения основной части долга в этом случае не меняется, так как кредит продолжает погашаться равными платежами основной части. Меняется лишь сумма процентов.

В итоге таблица выплат на оставшийся период будет выглядеть так:

кварта­лы, k	кварталы в старой нумерации	основной долг, R, руб.	остаток долга, S(k), руб.	проценты, I(k), руб.	выплаты по кредиту, М(k), руб.
		166666,67	2666666,67	128333,33	295000,00
		166666,67	2500000,00	120312,50	286979,17
		166666,67	2333333,33	112291,67	278958,33
		166666,67	2166666,67	104270,83	270937,50
		166666,67	2000000,00	96250,00	262916,67
		166666,67	1833333,33	88229,17	254895,83
		166666,67	1666666,67	80208,33	246875,00
		166666,67	1500000,00	72187,50	238854,17
		166666,67	1333333,33	64166,67	230833,33
		166666,67	1166666,67	56145,83	222812,50
		166666,67	1000000,00	48125,00	214791,67
		166666,67	833333,33	40104,17	206770,83
		166666,67	666666,67	32083,33	198750,00
		166666,67	500000,00	24062,50	190729,17
		166666,67	333333,33	16041,67	182708,33
		166666,67	166666,67	8020,83	174687,50
итого		2666666,67		1048333,33	3757500,00

Таким образом, общая сумма всех выплат по кредиту без дисконтирования составит:

рублей,

Кредитный план №3

Другой способ погашения (амортизации) кредита предполагает выплату основного долга и начисляемых процентов одинаковыми суммами через одинаковые интервалы времени, то есть аннуитетом, Таблица погашения на 44 квартала остается такой же, как и в первой схеме, После выплаты штрафа в размере 300 000 рублей в 44 квартале дальнейшее погашение осуществляем аннуитетными платежами.

Вычислим величину аннуитета для кредита взятого на 4 года под годовых на сумму руб.:

,

Для разделения выплачиваемых сумм на процентные выплаты и выплаты основной части долга проведем следующие вычисления:

1) процентный платёж ;

2) выплаты в счёт основного долга ;

3) остаток основного долга , , ,

кварта­лы, t	кварталы в старой нумерации	аннуитет, M, руб.	остаток долга, S(k), руб.	проценты, I(k), руб.	основной долг, R(k), руб.
		244959,71	2666666,67	131666,67	113293,04
		244959,71	2553373,62	126072,82	118886,89
		244959,71	2434486,74	120202,78	124756,93
		244959,71	2309729,81	114042,91	130916,80
		244959,71	2178813,01	107578,89	137380,82
		244959,71	2041432,19	100795,71	144164,00
		244959,71	1897268,19	93677,62	151282,09
		244959,71	1745986,10	86208,06	158751,65
		244959,71	1587234,45	78369,70	166590,00
		244959,71	1420644,44	70144,32	174815,39
		244959,71	1245829,05	61512,81	183446,90
		244959,71	1062382,15	52455,12	192504,59
		244959,71	869877,56	42950,20	202009,51
		244959,71	667868,06	32975,99	211983,72
		244959,71	455884,33	22509,29	222450,42
		244959,71	233433,91	11525,80	233433,91
Итого		3919355,36		1252688,70	2666666,67

Таким образом, общая сумма всех выплат по кредиту без дисконтирования составит:

руб,

Очевидно, что наименьшая сумма выплат достигается при второй схеме погашения кредита, Однако простая сумма не учитывает различную стоимость денежных платежей, вносимых в банк в разные моменты времени, Для учета этого фактора необходимо привести все суммы на одну дату – дисконтировать,

Сравнение вариантов погашения кредита

Для сравнения вариантов приведем все суммы к дате начала операции, Для дисконтирования используем процентную ставку , как ставку, удовлетворявшую заемщика в момент начала операции.

Дисконтируем все выплаты заемщика по формуле

,

Получаем таблицу:

Квартал	План 1 M(k), руб.	План 1 V(k), руб.	План 2 M(k), руб.	План 2 V(k), руб.	План 3 M(k), руб.	План 3 V(k), руб.
	791666,67	745098,04	791666,67	745098,04	791666,67	745098,04
	781250,00	692041,52	781250,00	692041,52	781250,00	692041,52
	770833,33	642648,75	770833,33	642648,75	770833,33	642648,75
	760416,67	596672,30	760416,67	596672,30	760416,67	596672,30
	750000,00	553881,13	750000,00	553881,13	750000,00	553881,13
	739583,33	514059,61	739583,33	514059,61	739583,33	514059,61
	729166,67	477006,44	729166,67	477006,44	729166,67	477006,44
	718750,00	442533,70	718750,00	442533,70	718750,00	442533,70
	708333,33	410466,04	708333,33	410466,04	708333,33	410466,04
	697916,67	380639,79	697916,67	380639,79	697916,67	380639,79
	687500,00	352902,21	687500,00	352902,21	687500,00	352902,21
	677083,33	327110,78	677083,33	327110,78	677083,33	327110,78
	666666,67	303132,53	666666,67	303132,53	666666,67	303132,53
	656250,00	280843,37	656250,00	280843,37	656250,00	280843,37
	645833,33	260127,56	645833,33	260127,56	645833,33	260127,56
	635416,67	240877,14	635416,67	240877,14	635416,67	240877,14
	625000,00	222991,37	625000,00	222991,37	625000,00	222991,37
	614583,33	206376,33	614583,33	206376,33	614583,33	206376,33
	604166,67	190944,40	604166,67	190944,40	604166,67	190944,40
	593750,00	176613,89	593750,00	176613,89	593750,00	176613,89
	583333,33	163308,61	583333,33	163308,61	583333,33	163308,61
	572916,67	150957,54	572916,67	150957,54	572916,67	150957,54
	562500,00	139494,45	562500,00	139494,45	562500,00	139494,45
	552083,33	128857,62	552083,33	128857,62	552083,33	128857,62
	541666,67	118989,50	541666,67	118989,50	541666,67	118989,50
	531250,00	109836,46	531250,00	109836,46	531250,00	109836,46
	520833,33	101348,52	520833,33	101348,52	520833,33	101348,52
	510416,67	93479,11	510416,67	93479,11	510416,67	93479,11
	500000,00	86184,82	500000,00	86184,82	500000,00	86184,82
	489583,33	79425,23	489583,33	79425,23	489583,33	79425,23
	479166,67	73162,66	479166,67	73162,66	479166,67	73162,66
	468750,00	67362,04	468750,00	67362,04	468750,00	67362,04
	458333,33	61990,69	458333,33	61990,69	458333,33	61990,69
	447916,67	57018,17	447916,67	57018,17	447916,67	57018,17
	437500,00	52416,16	437500,00	52416,16	437500,00	52416,16
	427083,33	48158,26	427083,33	48158,26	427083,33	48158,26
	416666,67	44219,93	416666,67	44219,93	416666,67	44219,93
	406250,00	40578,29	406250,00	40578,29	406250,00	40578,29
	395833,33	37212,06	395833,33	37212,06	395833,33	37212,06
	385416,67	34101,46	385416,67	34101,46	385416,67	34101,46
	375000,00	31228,04	375000,00	31228,04	375000,00	31228,04
	364583,33	28574,68	364583,33	28574,68	364583,33	28574,68
	354166,67	26125,42	354166,67	26125,42	354166,67	26125,42
	343750,00	23865,44	343750,00	23865,44	343750,00	23865,44
	333333,33	21780,93	295000,00	19276,13	244959,71	16006,35
	322916,67	19859,09	286979,17	17648,96	244959,71	15064,80
	312500,00	18087,97	278958,33	16146,53	244959,71	14178,64
	302083,33	16456,51	270937,50	14759,79	244959,71	13344,60
	291666,67	14954,39	262916,67	13480,32	244959,71	12559,62
	281250,00	13572,05	254895,83	12300,30	244959,71	11820,82
	270833,33	12300,60	246875,00	11212,47	244959,71	11125,48
	260416,67	11131,76	238854,17	10210,05	244959,71	10471,04
	250000,00	10057,88	230833,33	9286,77	244959,71	9855,10
	239583,33	9071,81	222812,50	8436,78	244959,71	9275,39
	229166,67	8166,95	214791,67	7654,66	244959,71	8729,77
	218750,00	7337,15	206770,83	6935,36	244959,71	8216,26
	208333,33	6576,72	198750,00	6274,19	244959,71	7732,95
	197916,67	5880,36	190729,17	5666,81	244959,71	7278,07
	187500,00	5243,17	182708,33	5109,18	244959,71	6849,95
	177083,33	4660,59	174687,50	4597,54	244959,71	6447,01
44 штраф			300000,00	20828,02	300000,00	20828,02
Итого	29062500,00		29036666,67	10004685,91	29198522,03	10004645,94

Заметим, что, как и следовало ожидать, сумма дисконтированных платежей по первому плану равна величине кредита.

Выводы

Как видно из итоговой таблицы, с учетом дисконтирования незначительно выгоднее для заемщика оказался исходный план погашения кредита без перекредитования, а второй план оказался самым «дорогим».

В данном случае из-за значительной суммы штрафных выплат, несмотря на заметное снижение процентных ставок при втором и третьем планах, рекомендуется не менять график погашения кредита путем перекредитования.

IV. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Финансовая математика: Математическое моделирование финансовых операций: учеб. пособие / под ред. В. А. Половникова, А. И. Пилипенко. – М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2010. – 360с.

2. Бабешко Л.О Математическое моделирование финансовой деятельности: учеб. пособие / Л. О. Бабешко. – М.: КНОРУС, 2009. – 224с.

3. Капитоненко, В. В.Задачи и тесты по финансовой математике: учеб. пособ. / В. В. Капитоненко. – М.: Финансы и статистика, 2007. – 256 с.

4. Кочович, Е.Финансовая математика: с задачами и решениями: учебно-метод. пособие / Е. Кочович; пер. с серб. Е. Кочович. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 384с.

5. Самаров, К.Л. Финансовая математика [Электронный ресурс]: сборник задач с решениями: учеб. пособие / К.Л. Самаров. – М.: Альфа-М: ИНФРА-М, 2009. – 80 с. – Режим доступа: http://znanium.com

6. Самаров, Е.К.Страховая математика: практический курс [Электронный ресурс]: учеб. пособие / Е.К. Самаров. – М.: Альфа-М: ИНФРА-М, 2009. – 80 с. – Режим доступа: http://znanium.com

7. Вдовин, В. М. Информационные технологии в финансово-банковской сфере [Электронный ресурс]: практикум / В. М. Вдовин, Л. Е. Суркова. – 2-е изд. – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2012. – 248 с. – Режим доступа: http://znanium.com

8. Мелкумов, Я.С. Финансовые вычисления. Теория и практика [Электронный ресурс]: учебно-справочное пособие / Я.С. Мелкумов. – М.: ИНФРА-М, 2009. – 408 с. – (Высшее образование).– Режим доступа: http://znanium.com