Решение типовых задач. Определите средний доход банка по данной операции.

Пример 5.1. Доходы пяти банков по операциям с ценными бумагами за отчетный период составили: 0,4; 0,7; 0,8; 1,1; 1,2 тыс. сом.

Определите средний доход банка по данной операции.

Решение. Так в данном примере дан дискретный ряд распределенные с несгруппированными даннымисредний доход рассчитывается по средней арифметической простой.

Средний доход пяти банков по операциям с ценными бумагами равен

4,2 / 5 = 0,84 тыс. сом.

Пример 5.2. Имеются следующие данные страховых организаций республики о числе заключенных договоров по личному страхованию:

Таблица 5.1 Исходные и расчетные данные о группировке страховых организаций по числу договоров

№ организации	Число договоров, тыс. х	Число страховых организаций f	Число заключенных договоров по всем страховым организациям xf
Итого

Определите среднее число заключенных договоров в расчете на одну страховую организацию республики.

Решение. По условию задачи имеется вариационный дискретный ряд со сгруппированными данными. Поэтому для расчета среднего количества заключенных договоров необходимо использовать формулу средней арифметической взвешенной (сумма из произведений вариантов и частот вычислена в графе 4 таблицы 5.1).

Пример 5.3. По данным выборочного наблюдения имеется следующее распределение фермерских хозяйств области по размерам посевных площадей.

Таблица 5.2 Исходные и расчетные данных о распределении фермерских хозяйств про размерам посевной площади

№ группы	Фермерские хозяйства по размерам посевных площадей, га	Число хозяйств f	Середина интервала х	xf
	до 40
	40-50
	50-60
	60-70
	свыше 70
	Итого

Определите средний размер посевных площадей на одно фермерское хозяйство.

Решение. Для расчета средней из интервального ряда необходимо варианты выразить одним (дискретным) числом. Для закрытых интервалов (2-4) за дискретное число принимается средняя арифметическая простая из верхнего и нижнего значения интервала. Для определения варианты в группах с открытыми интервалами (группы 1 и 5) предполагается, что для первой группы величина интервала равна интервалу второй группы, а в последней группе - интервалу предыдущей. Дальнейший расчет аналогичен примеру 5.2, т.е. для расчета применяется средняя арифметическая взвешенная:

га.

Пример 5.4. Доходы банков в отчетном году характеризуются следующими показателями.

Таблица 5.3

№ банка	Средняя процентная ставка х	Доход банка, тыс. сом М = xf	Сумма кредита M/x

Определите среднюю процентную ставку банков.

Решение. Основной выбор формы средней является реальное содержание определяемого показателя:

% ставка = (Доход банка / Сумма кредита) * 100

Откуда Доход банка = % ставка * Сумма кредита

% ставка – варианта (х),

Сумма кредита – частота (f)

Доход банка – произведение варианты на частоту М= x*f

В данном примере отсутствуют прямые данные о кредитах. Но их суммы можно определить косвенным путем, разделив доход банка (М) на процентную ставку (х).

Средняя будет равна (расчет по формуле средней гармонической взвешенной)

или 14%.

Приведенная формула называется средней гармонической взвешенной, где веса представляют собой произведения процентной ставки (х) на сумму кредита (f): М = xf.

Пример 5.5. По следующим данным о распределении 100 рабочих одного предприятия по величине заработной платы необходимо определить среднюю заработную плату, приходящуюся на одного рабочего.

Группы рабочих по размеру заработной платы, сом	Число рабочих, чел.
10400-10600 10600-10800 10800-11000 11000-11200 11200-11400
Итого

Решение. Для упрощения расчетов для расчета средней заработной платы на предприятии используем формулу средней арифметической способом отсчета от условного нуля.

В качестве А можно взять любое произвольное число, но для упрощения расчетов целесообразнее взять значение в пределах варьирующего признака в данной совокупности, т.е. взять любое значение варианты.

Произведенные вычисления для расчета средней величины способом отсчета от условного нуля. Возьмем для примера в качестве произвольного числа А = 10900.

Таблица 5.4

Группы рабочих по размеру заработной платы, сом	Число рабочих, чел.	Середина интервала, х	х-А (А=10900)
10400-10600 10600-10800 10800-11000 11000-11200 11200-11400			-400 -200	-2 -1	-20 -15
Итого		-	-	-

= сом.

Пример 5.6. Распределение семей района по числу детей в них характеризуется следующими данными:

Число детей в семье
Число семей, тыс.

Определите моду.

Решение. В данном примере нам представлен дискретный вариационный ряд. В дискретном ряду модой является варианта, которой соответствует наибольшая частота. В нашем примере наибольшая частота – 25, эта частота соответствует семьям с одним ребенком. Таким образом, мода указывает, что в районе наиболее часто встречаются семьи с одним ребенком.

Пример 5.7. Известны возрасты 5 студентов – 18,20,22,19,21. Необходимо определить медиану.

Решение. Чтобы определить медиану, необходимо расположить исходные данные по возрастанию или убыванию (ранжирование).

Таблица 5.5 Распределение студентов по возрасту в порядке возрастания

Номер по порядку
Возраст, лет

Медиана есть серединное значение признака, т.е. значение признака которое делит ряда распределения пополам.

Чтобы найти номер единицы совокупности, находящейся в середине ряда, нужно к численности ряда прибавить единицу и сумму разделить на два. Обозначив номер единицы совокупности, находящейся в середине ряда, через N_Me, а численность ряда через n, напишем формулу для его определения.

N_Me =n+1/2=5+1/2=3

В середине ряда у нас находится человека под номером 3. Следовательно, возраст этого человека и есть медианный возраст – 20 лет.

Добавим к нашему ряду номер и возраст и еще одного человека: № 6 – 23 года. Таким образом, наш нечетный ряд превращается в четный и в середине его находятся 2 номера: № 3 и 4. Определим номер, находящейся в середине ряда с медианным значением признака:

N_Me =6+1/2=3,5.

Это говорит о том, что точная середина проходит между № 3 и 4. В таком случае за медиану принимается средняя величина из значений признака у единиц совокупности, находящихся в середине ряда. В нашем примере № 3 имеет возраст 20 лет, № 4 – 21 год, значит М_е =(20+21)/2=20,5

Пример 5.8. Требуется определить медиану на основании следующего распределения 101 семьи по числу имеющихся у них детей:

Число детей в семье							Итого
Число семей

Решение. Находим номер серединной единицы совокупности:

N_Me =

Медианным значением обладает семья № 51. Необходимо определить число детей у нее. Для этого нужно подсчитать накопленные итоги (путем последовательного суммирования численностей каждой группы семей). Итоги эти следующие:

10, 50, 80, 90, 97, 101.

В первом итоге семьи с порядковыми номерами от 1 до 10, во втором – до 50. Нам же нужен № 51. Он в третьем накопленном итоге. А этот итог приходится на третью группу семей – с тремя детьми. Здесь все семьи от № 51 до № 80 имеют по трое детей: Ме =3.

Пример 5.9. Имеются данные о распределении работников предприятия по уровню среднемесячной заработной платы:

Таблица 5.6

№ группы	Заработная плата, сом	Число работников, чел.	Сумма накопленных частот
А
	8000-10000
	10000-12000
	12000-14000
	14000-16000
	16000-20000
	Свыше 20000

Определите модальный и медианный размер заработной платы.

Решение. В примере представлен интервальный ряд распределения, значит, мода рассчитывается по следующей формуле

Где Мо - мода;

- нижняя граница модального интервала;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

Первоначально по наибольшей частоте признака определим модальный интервал. Наибольшее число работников - 70 человек - имеют заработную плату в интервале 12000 - 14000 сом, который является модальным.

= 12000 + 2000 *

Рассчитаем медиану для интервального ряда по формуле:

Где Ме - медиана;

- нижняя граница медианного интервала;

- величина медианного интервала;

-сумма частот ряда;

- сумма накопленных частот ряда, предшествующих медианному интервалу;

- частота медианного интервала.

Определим медианный интервал, в котором находится порядковый номер медианы. Для этого подсчитаем сумма накопленных частот (гр.3, таб. 5.6). Медианному интервалу будет соответствовать сумма накопленных частот, которая равна полусумме всех частот или будет превышать эту величину (200/2=100).

В графе 3 «Сумма накопленных частот» значение 110 соответствует интервалу 12000 - 14000. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана.

Ме = 12000+2000*

Из расчета видно, что половина работников предприятия имеют заработную плату до 13714,3 сома, а половина - свыше этой суммы.