Практическое вычисление погрешностей

Для получения итогов косвенного измерения выполняют математические операции, а потом округляют результат. Очевидно, нет необходимости выполнять математические операции с результатами прямых, как с точными числами, «до конца», а следует прекращать их, получив определенное количество цифр в результате. Это значительно облегчает работу, но при таких вычислениях возможны дополнительные погрешности. Чтобы погрешность вычислений не вносили искажений в конечный результат, необходимо брать их на порядок меньше погрешности косвенных измерения. Поэтому все вычисления необходимо проводить с количеством значащих цифр на единицу больше, чем количество значащих цифр результата измерения.

Погрешности однозначного числа находятся в пределах от 10 до 100%, двузначного – от 1 до10%, трехзначного от 0,1 до 1% и т.д., поэтому вычисление с относительной погрешностью результата косвенных измерений порядка 10-100% производят с двумя значащими цифрами; 1-10% - с тремя значащими цифрами; 0,1-1% с четырьмя значащими цифрами и т.д. (см. пример 9).

Поскольку значение погрешности приводят с одной (реже с двумя) значащей цифрой. То все вычисления погрешностей следует производить не более чем с двумя значащими цифрами (см. пример9). Как видно из последнего рассмотренного примера, не все частные погрешности косвенного измерения играют одинаковую роль в формировании итоговой погрешности результата. Частные погрешности измерения сопротивления R и времени прохождения тока t меньше погрешности измерения силы тока I. Если погрешностями измерений R и t пренебречь, то итоговая погрешность результата практически не измениться.

Поскольку не все составляющие итоговой погрешности намерение оказывают одинаковое влияние на эту погрешность, при вычислении итоговой погрешности некоторыми из составляющих можно пренебречь. Теория погрешностей дает некоторые критерии, называемые критериями ничтожных погрешностей, которые выражают условия, позволяющие пренебречь одной или несколькими составляющими итоговой погрешности. Эти критерии следующие:

Для одной составляющие в соответствии с формулами (17) и (18) имеем

или (28)

Для нескольких составляющих

или

(29)

В технических расчетах в формуле (28) применяют коэффициент 0,4 вместо 0,3.

В правой части неравенства под радикалами суммируют квадраты всех без исключения относительных погрешностей, а в левой – только тех, которыми можно пренебречь.

Таким образом, для упрощения вычислений, как указывают неравенства (28) и (29), некоторыми составляющими, которые в сумме меньше 0,3 итоговой погрешности, можно пренебречь.

Рассмотри примеры.

1. В ранее приведенном пример (9) частными погрешностями и можно было пренебречь. Действительно, в соответствии с критериями ничтожных погрешностей (29)

0,3

После подстановки цифровых значений имеем 0,00088 0,3 ∙ 0,003, что и требовалось доказать.

2. Какое количество цифр необходимо брать в константах, применяемых в расчетах, чтобы их погрешностями можно было пренебречь? В данном случае входящую в формулу константу можно считать независимой переменной и рассматривать погрешность ее округления как составляющую итоговой погрешности.

Пример 10. Определить количество знаков числа , чтобы его погрешность не учитывалась при измерении площади поперечного сечения проволоки диаметра d с погрешностью ΔS/S, не превышающей 0,1%.

Площадь поперечного сечения проволоки круглого сечения , т.е. .

Граница относительной погрешности

В соответствии с критерием ничтожности погрешности (28)

, т.е. , откуда .

Если взять то погрешность округления (3,142-3,14159 = 0,00041) меньше допустимого предела (0,00094) и ее можно не учитывать при измерении S.

3. Применяя критерий ничтожных погрешностей к вычислению погрешностей прямых измерений, приходим к такому выводу. При вычислении границы доверительного интервала для погрешности прямого измерения по формуле (28) можно пренебречь погрешностью средств измерения, если она не больше среднеквадратического отклонения среднеарифметического. Если среднеквадратическое отклонение не больше десятой части предела допускаемой основной погрешности средства измерения, то пренебрегают случайной погрешностью.

4. Применяя критерий ничтожных погрешностей к вычислению границы доверительного интервала погрешности единичного измерения, вычисляемого по формуле (27), придем к следующим выводам:

- при вычислении погрешности единичного измерения погрешностью отсчитывания можно пренебречь, если ее предел не менее чем в пять раз меньше значения предела допускаемой основной погрешности средства измерения (это условие реализуется при использовании средств измерения, у которых предел допускаемой погрешности не меньше цены деления шкалы и при отсчитывании оцениваются «на глаз» доли деления шкалы);

- при вычислении границы доверительного интервала погрешности единичного измерения инструментальной погрешностью можно пренебречь, если предел допускаемой погрешности средства измерения не менее чем в два раза меньше предела погрешности отсчитывания. Это условие выполнятся при измерении длины линейкой измерительной металлической, линейкой деревянной с делениями, если результат измерения округлить до значения, которое соответствует ближайшей отметке шкалы.

ПРАВИЛА, КОТОРОЕ НЕОБХОДИМО ЗНАТЬ

БЕЗГРАМОТНО

1. Использовать для измерений, кроме учебных целей, измерительные средства, которые не прошли государственную или ведомственную поверку.

2. Выбирать алгоритм вычислений, метод или средство измерений, которые не обеспечивают требуемой точности.

3. Использовать средство измерения в условиях, которые противоречат требованиям его технического паспорта.

4. Представлять конечный результат измерений (вычислений) без указания доверительного интервала и доверительной (заданной, практически необходимой) вероятности.

5. Приступать к измерениям, не убедившись в отсутствии систематических погрешностей и не устранив их.

6. Производить обработку результатов наблюдений без выявлений и исключения промахов.

7. Строить графики без учета характера зависимости исследуемых величин, только по результатам эксперимента («по экспериментальным точкам»).

НЕКОРРЕКТНО

1. Использовать средства измерения в условиях, отличающихся от нормальных, не вводя поправки в результаты измерений на дополнительную погрешность.

2. Выбирать измерительное средство так, чтобы значение однократно измеряемой величины находилось в первой половине его шкалы.

3. Выбирать средство измерения с минимальным числом делений шкалы при наличии средства измерения с совпадающим диапазоном, но со шкалой, имеющей число делений в несколько раз большее.

НЕЦЕЛЕСООБРАЗНО

1. Выбирать алгоритм вычислений, метод или средство изменения, которые обеспечивают точность, существенно большую, чем необходимо.

2. Производить многократные измерения, когда инструментальная погрешность существенно больше случайной.

3. Использовать аналоговые измерительные средства при наличии идентичных по метрологическим характеристикам цифровых средств измерения.

4. Уменьшать погрешность одной из нескольких влияющих на конечный результат равноточно измеренных физических величин.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2