Основные формулы

здесь P_A(B) – вероятность наступления события В при условии, что событие А произошло (условная вероятность).

, где - противоположные события.

, если события Н _i, где , попарно несовместны и образуют полную группу.

- формула полной вероятности.

- формулы Байеса; здесь Р(А) определяется по формуле полной вероятности.

Вопросы для самопроверки:

1. Какое событие называется случайным?

2. Когда случайные события считаются несовместными?

3. Что такое полная группа событий?

4. Какие события называются противоположными?

5. Что понимается под суммой и произведением событий?

6. По каким формулам определяются вероятности суммы и произведения двух событий?

7. В чем состоит условие независимости двух событий?

8. Каковы условия применения формулы полной вероятности и формул Байеса?

Задача 1

На множестве возможных исходов некоторого испытания рассматриваются два события – А и В. Вероятность их совместного наступления равна 0,4. Вероятность наступления события А при условии, что событие В произошло, равна 2/3, а вероятность наступления события В при условии, что событие А произошло – 4/7. Требуется:

1) выяснить, зависимы или нет события А и В;

2) найти вероятности событий

3) определить вероятность ненаступления события А при условии, что событие В не произошло.

Решение

Указанные в задаче события полезно представить графически с помощью диаграммы Эйлера-Венна (рисунок 1).

Рисунок 1. Диаграмма Эйлера-Венна.

Очевидно, что события А·В, попарно несовместны и образуют полную группу. Кроме того, видно, что справедливы равенства:

Правые части этих равенств представляют собой суммы опять-таки несовместных событий.

С учетом изложенного выше на поставленные в задаче вопросы можно ответить следующим образом:

1) по условию, Так как

.

Тогда из P(A · B) = 0,4 и P(A) · P(B) = 0,42 следует, что P(A · B) ≠ P(A) · P(B). Это значит, что события А и В являются зависимыми.

2) P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A·B) = 0,7 + 0,6 – 0,4 = 0,9. Так как события А + В и являются противоположными, то

Из находим

Из определяем

3) Так как где а то

Ответ:

1) события А и В зависимы;

2)

3)

ТЕМЫ 4 – 6

[1]: гл. 5,6,7,8,10-13.

[2]: гл. 3,4,6.

[3]: гл. 2, §§ 1-5, гл. 3, §§ 1-8.