Интерпретация системы аксиом

Не на всяком множестве Е можно определить структуру любого рода. Например, на конечном множестве Е можно определить структуру n-мерного векторного пространства над бесконечным полем. Но ту же структуру можно определить на множестве К×К×…×К=Кⁿ

Мы уже говорили о структурах и базах, и в определении структуры звучало: если Т¹Æ. Но когда же оно может быть пусто?

a) Данная база не допускает структуру требуемого рода. Тут простор для раздумий …$ др. база.

b) Не существует базы, допускающей требуемую структуру (т.е. всегда Т=Æ)

Опр1 Система аксиом å={A₁, …, At}, определяющая структуру рода Т называется содержательно не противоречивый, если существует база, допускающая требуемую структуру. Если такой базы не существует, то å называется противоречивой.

Опр2 Если указано конкретное множество М, на котором можно придать конкретный смысл отношениям D_1, D₂,..., D_к, так, что все аксиомы А₁, А₂,..., А_t оказываются выполненными, то, говорят, что построена интерпретация системы аксиом å, а само множество М называют моделью структур рода Т.

ПРИМЕР: Проективное пространство. Аффинное пространство на множестве Е, множество матриц 1×n.

Следовательно, чтобы доказать непротиворечивость (содержательную) системы аксиом å={A₁,..., A_t}, достаточно построить хотя бы одну ее интерпретацию.