I8 Существует, по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости

Уже из этих 8 аксиом можно вывести несколько теорем элементарной геометрий, которые наглядно очевидны и, поэтому, в школьном курсе геометрии не доказываются и даже иногда из логических соображений включаются в аксиомы того или иного школьного курса

Например:

1. Две прямые имеют не более одной общей точки.

2. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих двух плоскостей

Доказательство: (для понта):

По I₇ $ В, которая тоже принадлежит a и b,т.к. А,В ' a, то по I₆ АВ 'b. Значит прямая АВ является общий для двух плоскостей.

3. Через прямую и не лежащую на ней точку, так же как через две пересекающиеся прямые, проходит одна и только одна плоскость.

4. На каждой плоскости существует три точки, не лежащие на одной прямой.

ЗАМЕЧАНИЕ: С помощью этих аксиом можно доказать немного теорем и большинство из них вот такие простые. В частности из этих аксиом нельзя доказать, что множество геометрических элементов бесконечно.

ГРУППА II Аксиомы порядка.

Если на прямой даны три точки, то одна из них может находиться к двум другим в отношении «лежать между», которое удовлетворяет следующим аксиомам:

II1 Если В лежит между А и С, то А,В, С- различные точки одной прямой и В лежит между С и А.

II2 Каковы бы ни были две точки А и В, существует по крайней мере одна точка С на прямой АВ, такая, что В лежит между А и С.