Приближенные методы решения нелинейных уравнений

Цель работы – ознакомление с методами приближенного решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений и оценка эффективности отдельных методов.

2.1 Основные сведения

Решение уравнения – это определения множества его корней, то есть таких значений аргумента х, при которых уравнения превратится в тождественность. Если функция – алгебраический многочлен, то уравнение называют алгебраическим. Если содержит тригонометрические, показательные или логарифмические функции, тогда уравнения называют трансцендентным.

Универсальных методов для нахождения точных значений корней для большинства таких уравнений не существует. Поэтому важное значение приобретают приближенные методы нахождения корней уравнения с достаточной для практики точностью.

Задачу нахождения корней уравнения полагают разрешенной, если корни вычислены с заведомо заданной точностью.

Приближенное нахождение корней уравнения состоит из двух этапов:

1) обособление корней, то есть выделение промежутков конечной длины (отрезков изоляции корней) где содержится один единственный корень уравнения;

2) вычисление корней с заведомо заданной точностью (уточнение корней).

Корни уравнения могут быть действительными и комплексными. В данной работе будут рассматриваться приближенные методы вычисления только действительных корней.

Наиболее распространенными методами обособления корней являются аналитический и графический методы.

К наиболее распространенным методам уточнения корней алгебраических и трансцендентных уравнений можно отнести следующие методы: половинного деления (другие названия: бисекции, дихотомии), хорд (ошибочного положения), касательных (Ньютона), комбинированный метод хорд и касательных, итераций (последовательных приближений).

2.2 Порядок выполнения работы

1. Отделить графически один из корней (например, первый положительный) трансцендентного уравнения и уточнить его указанным методом с точностью до (табл. 2.1).

2. Решить алгебраическое уравнение (табл. 2.1). При этом выполнить следующие действия:

– отделить все корни уравнения (с использованием ЭВМ);

– самый большой по абсолютной величине корень уточнить с точностью несколькими методами (ЭВМ); оценить эффективность использованных методов;

– составить программу уточнения корней указанным методом и с ее помощью уточнить другие корни уравнения с точностью .

3. С использованием схемы Горнера составить таблицу значений многочлена (табл. 2.2) на отрезке [0,5; 1,0]; шаг . Вычисления с приведением всех промежуточных результатов выполнить с точностью до 0,0001, ответ округлить до тысячных.

2.3 Содержание отчета

1. Цель работы.

2. Исходные данные для выполнения работы.

3. Решение трансцендентного уравнения указанным методом.

4. Решение алгебраического уравнения (обособление корней, сводная таблица с результатами уточнения одного из корней разными методами на ЭВМ, текст программы и результаты уточнения других корней указанным методом).

5. Расчеты значений многочлена с помощью схемы Горнера.

Контрольные вопросы

1. Какие основные этапы методики решения нелинейных уравнений?

2. Какие существуют методы обособления корней нелинейных уравнений?

3. Как можно определить область существования (RH, RB) корней алгебраических уравнений? Объясните суть известных методов.

4. В чем состоит средство определения границ существования отрицательных и положительных действительных корней алгебраических уравнений?

5. Какой алгоритм вычисления значения многочлена является наиболее экономным (с точки зрения количества операций)?

6. Объясните суть наиболее распространенных методов уточнения корней нелинейных уравнений (половинного деления, хорд, касательных, простых итераций).

7. Составьте возможные алгоритмы наиболее распространенных методов уточнения корней нелинейных уравнений.

Таблица 2.1 – Варианты к задачам 1 и 2

Вариант	Трансцендентное уравнение	Метод уточнения	Алгебраическое уравнение	Метод уточнения
	Sin(x/5)+exp(x/10)=3,628	Касательных Хорд Бисекции Касательных Дихотомии Хорд Касательных Хорд Бисекции Касательных Бисекции Хорд Касательных Хорд Бисекции		Бисекции Дихотомии Касательных Хорд Касательных Бисекции Дихотомии Касательных Хорд Бисекции Хорд Касательных Дихотомии Касательных Хорд

Продолжение таблицы 2.1

Вариант	Трансцендентное уравнение	Метод уточнения	Алгебраическое уравнение	Метод уточнения
		Касательных Бисекции Хорд Касательных Хорд Бисекции Касательных Дихотомии Хорд Касательных Хорд Бисекции Касательных Дихотомии Хорд		Бисекции Касательных Дихотомии Хорд Бисекции Касательных Хорд Касательных Дихотомии Хорд Бисекции Касательных Дихотомии Хорд Касательных

Таблица 2.2 – Варианты к задаче 3

Вариант	Многочлен
	. . . . . . . . . . .

Продолжение таблицы 2.2

Вариант	Многочлен
	. . . . . . . . . . . . . . .

Лабораторная работа № 3